Eulerův–Maclaurinův vzorec

(přesměrováno z Eulerův-Maclaurinův vzorec)

Eulerův–Maclaurinův vzorec je v matematice vzorec pro rozdíl mezi integrálem a sumou tento integrál aproximující. Lze jej použít pro aproximaci integrálů konečnými součty nebo opačně pro vyhodnocení konečných součtů a nekonečných řad pomocí integrálů a numerické řešení úloh infinitezimálního počtu. Z tohoto vzorce je odvozeno mnoho asymptotických rozvojů, a jeho bezprostředním důsledkem je Faulhaberův vzorec pro sumu mocnin.

Vzorec objevili okolo roku 1735 nezávisle Leonhard Euler a Colin Maclaurin. Euler jej potřeboval pro výpočty pomalu konvergujících nekonečných řad, zatímco Maclaurin jej používal pro vypočet integrálů. Později byl zobecněn na Darbouxův vzorec.

Pokud m a n jsou přirozená čísla a f(x) je reálná nebo komplexní spojitá funkce s reálným parametrem x na intervalu  , pak integrál

 

lze aproximovat součtem (nebo naopak)

 

(viz obdélníková metoda). Eulerův–Maclaurinův vzorec poskytuje výrazy pro rozdíl mezi součtem a integrálem s použitím vyšších derivací   vyčíslených v koncových bodech intervalu x = m a x = n.

Explicitně pro libovolné kladné celé číslo p a libovolnou funkci f(x), která je p krát diferencovatelná na intervalu  , platí

 

kde Bk je k-té Bernoulliho číslo (s  ) a Rp je chybový člen, který závisí na n, m, p, a f a obvykle je pro vhodné hodnoty p malý.

Vzorec se často píše tak, že dolní index nabývá pouze sudých hodnot, protože lichá Bernoulliho čísla jsou nula kromě pro B1:[1][2]

 

nebo alternativně

 

Zbytkový člen

editovat
Podrobnější informace naleznete v článku Bernoulliho polynomy.

Protože integrál obvykle není přesně roven součtu, obsahuje vzorec zbytkový člen. Vzorec lze odvodit opakovanou aplikací integrace per partes na sebe navazujících intervalech   pro r = m, m + 1, …, n − 1. Hraniční členy v těchto integracích dávají hlavní členy vzorce, a zbylé integrály tvoří zbytkový člen.

Zbytkový člen lze přesně vyjádřit pomocí periodizované Bernoulliho funkce Pk(x). Bernoulliho polynomy je možné definovat rekurzivně vztahem B0(x) = 1 a, pro k ≥ 1,

 

Periodizovaná Bernoulliho funkce je definována vztahem

 

kde x označuje největší celé číslo menší nebo rovné x, takže x − ⌊x vždy leží v intervalu  .

S touto notací je zbytkový člen Rp roven

 

Pro k > 0 lze ukázat, že

 

kde ζ je Riemannova funkce zeta; jednou z možností, jak tuto nerovnost dokázat, je použít Fourierovu řadu pro polynomy Bk(x). Meze jsou dosaženy pro sudé k, pokud x = 0. Člen ζ(k) lze pro lichá k vynechat, ale důkaz je v tomto případě složitější.[3] Pomocí této nerovnosti lze velikost zbytkového členu odhadnout jako

 

První členy

editovat

Bernoulliho čísla od B1 do B7 jsou  . Proto první členy Eulerova–Maclaurinova vzorce jsou:  

Aplikace

editovat

Basilejský problém

editovat

Basilejský problém je spočítat sumu

 

Euler v roce 1735 vypočítal tento součet na 20 desítkových míst pomocí několika málo členů Eulerova–Maclaurinova vzorce. To jej pravděpodobně přesvědčilo, že součet se rovná  , což ve stejném roce dokázal.[4]

Součty obsahujícím polynom

editovat
Podrobnější informace naleznete v článku Faulhaberův vzorec.

Je-li f je Polynom a p je dostatečně velké, pak zbytkový člen bude mít nulovou hodnotu. Pokud například f(x) = x3, můžeme zvolit p = 2 po zjednodušení dostaneme

 

Aproximace integrálů

editovat

Vzorec poskytuje prostředek pro aproximaci integrálu na omezeném intervalu. Nechť a < b jsou koncové body intervalu integrace. Zvolíme N – počet bodů použitých pro aproximaci, takže velikost kroku bude

 
a xi = a + (i − 1)h, tedy x1= a a xN = b. Dostáváme[5]
 

Tento vzorec můžeme chápat jako rozšíření lichoběžníkového pravidla o opravné členy. Tento asymptotický rozvoj obvykle nekonverguje – existuje určité p, závisející na f a h, takové, že členy od řádu p rychle rostou. Na zbytkový člen je tedy třeba dávat velký pozor.[5]

Eulerův–Maclaurinův vzorec se používá také pro podrobnou analýzu chyb při numerické integraci. Vysvětluje vynikající výkonnost lichoběžníkové metody pro hladké periodické funkce a používá se v určitých extrapolačních metodách. Clenshawova-Curtisova kvadratura je v zásadě substituce, která převádí libovolný integrál na integrály periodických funkcí, kde je Eulerův–Maclaurinův přístup velmi přesný (v tomto určitém případě má Eulerův–Maclaurinův vzorec tvar diskrétní kosinové transformace). Tato technika se někdy nazývá periodizační transformace.

Asymptotický rozvoj součtů

editovat

Při výpočtech asymptotických rozvojů součtů a řad je obvykle nejužitečnější tento tvar Eulerova–Maclaurinova vzorce:

 

kde a a b jsou celá čísla.[6] Rozvoj zůstává často platný dokonce i po limitním přechodu a → −∞, b → +∞ nebo obou. V mnoha případech lze integrál na pravé straně vyčíslit v uzavřeném tvaru pomocí elementárních funkcí, přestože součet na levé straně takto vyjádřit nelze. Pak lze pomocí elementárních funkcí vyjádřit všechny členy asymptotické řady. Například

 

Zde je levá strana rovna ψ(1)(z), jmenovitě polygamma funkci prvního řádu definované vztahem

 

Gama funkce Γ(z) je rovna (z − 1)!, je-li z je přirozené číslo. Dostáváme asymptotický rozvoj pro ψ(1)(z). Naopak tento rozvoj slouží jako východisko pro jedno z odvození přesného odhadu chyby ve Stirlingově vzorci pro funkci faktoriál.

Příklady

editovat

Je-li s celé číslo větší než 1, dostáváme:

 

Pokud sloučíme konstanty do hodnoty Riemannovy funkce zeta, můžeme asymptotický rozvoj zapsat ve tvaru:

 

Pro s = 2 se výraz zjednoduší na

 

nebo

 

Pro s = 1 dává odpovídající technika asymptotický rozvoj harmonických čísel:

 

kde γ ≈ 0.5772... je Eulerova konstanta.

Důkazy

editovat

Odvození matematickou indukcí

editovat

Následující důkaz uvádí Apostol.[1]

Bernoulliho polynomy Bn(x) a periodické Bernoulliho funkce Pn(x) pro n = 0, 1, 2, ... byly zavedeny výše.

Prvních několik Bernoulliho polynomů je

 

Hodnoty Bn(0) jsou Bernoulliho čísla Bn. Pro n ≠ 1 platí

 

a pro n = 1,

 

Funkce Pn mají na intervalu   stejnou hodnotu jako Bernoulliho polynomy a jsou periodické s periodou 1. Navíc jsou, kromě n = 1, také spojité. Tedy,

 

Pro celé číslo k uvažujme integrál

 

kde

 

Integrací per partes dostaneme

 

Použitím  ,   a sečtením výše uvedených výrazů od k = 0 do k = n − 1, dostaneme

 

Přičtením   k oběma stranám a přeskupením členů dostaneme

 

Výsledkem je sumační vzorec pro p = 1. Pro pokračování indukce aplikujeme integraci per partes na chybový člen:

 

kde

 

Výsledek integrace per partes je

 

Sečtením od k = 0 do k = n − 1 a substitucí za chybový člen nižšího řádu vede ke vzorci pro p = 2:

 

Celý postup lze opakovat. Tímto způsobem dostaneme důkaz Eulerova–Maclaurinova sumačního vzorce, který lze formalizovat matematickou indukcí, při níž indukční krok využívá integraci per partes a identit pro periodické Bernoulliho funkce.

Reference

editovat

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Euler–Maclaurin formula na anglické Wikipedii.

  1. a b APOSTOL, T. M. An Elementary View of Euler's Summation Formula. The American Mathematical Monthly. Mathematical Association of America, 1999-05-01, roč. 106, čís. 5, s. 409–418. ISSN 0002-9890. DOI 10.2307/2589145. JSTOR 2589145. 
  2. Digital Library of Mathematical Functions: Sums and Sequences [online]. Národní institut standardů a technologie. Dostupné online. 
  3. LEHMER, D. H. On the maxima and minima of Bernoulli polynomials. The American Mathematical Monthly. 1940, roč. 47, čís. 8, s. 533–538. DOI 10.2307/2303833. JSTOR 2303833. 
  4. PENGELLEY, David J., 2007. Euler at 300. Washington, DC: Mathematical Association of America. (MAA Spectrum). arXiv 1912.03527. S. 169–189. 
  5. a b DEVRIES, Paul L.; HASBRUN, Javier E., 2011. A first course in computational physics.. 2. vyd. [s.l.]: Jones and Bartlett Publishers. S. 156. 
  6. , 1972. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-61272-0. S. 16, 806, 886. 

Literatura

editovat

Související články

editovat

Externí odkazy

editovat