Celé číslo

Celá čísla se skládají z přirozených čísel (1, 2, 3, …), nuly (0) a záporných celých čísel (−1, −2, −3, …). Množina celých čísel se v matematice většinou označuje Z, nebo $\mathbb {Z}$, podle Zahlen (německy čísla). Podobně jako přirozená čísla, tvoří celá čísla nekonečnou spočetnou množinu. Studiem celých čísel se zabývá teorie čísel.

Vlastnosti

Množina celých čísel Z je uzavřená na operaci sčítání a násobení, to znamená, že součet i součin dvou celých čísel je opět celé číslo. Navíc oproti přirozeným číslům je uzavřená i pro odčítání. Není však uzavřena pro dělení, neboť podíl dvou celých čísel už nemusí být celé číslo (např. 1/2).

Následující tabulka ukazuje základní vlastnosti násobení a sčítaní pro jakákoliv celá čísla a, b, c.

	sčítání	násobení
uzavřenost:	a + b   je celé číslo	a × b   je celé číslo
asociativita:	a + (b + c)  =  (a + b) + c	a × (b × c)  =  (a × b) × c
komutativita:	a + b  =  b + a	a × b  =  b × a
existence neutrálního prvku:	a + 0  =  a	a × 1  =  a
existence inverzního prvku:	a + (−a)  =  0
distributivita:	a × (b + c)  =  (a × b) + (a × c)
Bez dělitelů nuly:		jestliže ab = 0, pak buď a = 0 nebo b = 0

V algebře tvoří Z s prvními pěti vlastnostmi uvedenými výše na operaci sčítání Abelovskou grupu. Grupa Z s operací sčítaní je cyklická, protože každý nenulový prvek může být vyjádřen konečným součtem (např. 1 + 1 + … + 1 nebo (−1) + (−1) + … + (−1)). Říkáme tedy, že grupa Z s operací sčítání je nekonečná cyklická grupa a tedy každá nekonečná cyklická grupa je isomorfní Z.

První čtyři vlastnosti uvedené výše s operací násobení říkají, že Z s touto operací je komutativní monoid. Ale ne každý prvek ze Z má inverzní prvek (ve smyslu násobení), prostě neexistuje takové celé číslo x, které by vyhovovalo rovnici 2x = 1. To znamená, že Z netvoří spolu s operací násobení grupu.

Všechny vlastnosti z tabulky, kromě poslední, dohromady s operacemi sčítání a násobení na Z tvoří komutativní okruh s jednotkou. Přidáním poslední vlastnosti získáme obor integrity nad Z.

Neexistence inverzních prvků vzhledem k násobení, neboli že Z není uzavřena na dělení, znamená, že Z není těleso. Nejmenším tělesem obsahujícím celá čísla je tedy těleso racionálních čísel. Podobně se dá definovat i podílové těleso jakéhokoliv oboru integrity.

Přestože běžné děleni není na Z definováno, neznamená to, že nemůžeme používat algoritmus dělení, ten říká: mějme dvě celá čísla a a b, kde b ≠ 0, pak existují právě dvě celá čísla q a r taková, že a = q × b + r a 0 ≤ r < |b|, kde |b| značí absolutní hodnotu b. Celé číslo q se nazývá kvocient a r se nazývá zbytek po dělení čísla a číslem b. To tvoří základ pro Eukleidův algoritmus k výpočtu největšího společného dělitele.

Konstrukce

Celá čísla mohou být zkonstruována z přirozených čísel definováním tříd ekvivalence dvojic čísel N×N s relací ekvivalence, „~“, kde

$(a,b)\sim (c,d)\,\!$

právě tehdy, když

$a+d=b+c.\,\!$

Kdybychom brali 0 jako přirozené číslo, pak přirozená čísla můžeme považovat za čísla celá vnořením, které přirozenému číslu n přiřadí [(n,0)], kde [(a,b)] značí třídu ekvivalence, která obsahuje (a,b).

Sčítání a násobení celých čísel je definováno následovně:

$[(a,b)]+[(c,d)]:=[(a+c,b+d)].\,$

$[(a,b)]\cdot [(c,d)]:=[(ac+bd,ad+bc)].\,$

Dá se lehce ověřit, že výsledek je nezávislý na volbě reprezentantů třídy ekvivalence.

Typicky, [(a,b)] je označení pro

${\begin{cases}n,&{\mbox{if }}a\geq b\\-n,&{\mbox{if }}a<b,\end{cases}}$

kde

$n=|a-b|.\,$

Jestliže přirozená čísla přiřadíme k odpovídajícím celým číslům (použitím výše uvedeného vnoření), pak toto přiřazení je jednoznačné.

Příklady:

${\begin{aligned}0&=[(0,0)]&=[(1,1)]&=\cdots &&=[(k,k)]\\1&=[(1,0)]&=[(2,1)]&=\cdots &&=[(k+1,k)]\\-1&=[(0,1)]&=[(1,2)]&=\cdots &&=[(k,k+1)]\\2&=[(2,0)]&=[(3,1)]&=\cdots &&=[(k+2,k)]\\-2&=[(0,2)]&=[(1,3)]&=\cdots &&=[(k,k+2)]\end{aligned}}$

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Integer na anglické Wikipedii.

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu celé číslo na Wikimedia Commons
• Slovníkové heslo celé číslo ve Wikislovníku

Autoritní data	NKC: ph135364 PSH: 7210 GND: 4134668-3 NDL: 00570428