Integrace per partes (integrace po částech ) se používá pro integrování součinu funkcí . Tato metoda je založena na větě o derivaci součinu:
(
u
v
)
′
=
u
′
v
+
u
v
′
{\displaystyle (uv)^{\prime }=u^{\prime }v+uv^{\prime }}
Uplatněním této věty na podmínky pro integrál vzniknou následující vzorce:
∫
(
u
v
)
′
d
x
=
∫
(
u
′
v
)
d
x
+
∫
(
u
v
′
)
d
x
{\displaystyle \int (uv)'\,\mathrm {d} x=\int (u'v)\,\mathrm {d} x+\int (uv')\,\mathrm {d} x}
u
v
=
∫
(
u
′
v
)
d
x
+
∫
(
u
v
′
)
d
x
{\displaystyle uv=\int (u'v)\,\mathrm {d} x+\int (uv')\,\mathrm {d} x}
Úpravou druhé rovnice vznikne metoda integrace označovaná per partes :
∫
(
u
v
′
)
d
x
=
u
v
−
∫
(
u
′
v
)
d
x
{\displaystyle \int (uv')\,\mathrm {d} x=uv-\int (u'v)\,\mathrm {d} x}
Druhý vztah získáme pouhou záměnou
u
↔
v
{\displaystyle u\leftrightarrow v}
Vztah pro integraci po částech bývá také vyjadřován pomocí diferenciálu jako
∫
u
d
v
=
u
v
−
∫
v
d
u
{\displaystyle \int u\,\mathrm {d} v=uv-\int v\,\mathrm {d} u}
Metoda per partes je vhodná pro integrování součinu funkcí. Při hledání integrálu lze metodu per partes použít opakovaně.
editovat
Nechť
u
(
x
)
{\displaystyle u(x)}
v
(
x
)
{\displaystyle v(x)}
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
[1]
∫
u
′
v
d
x
=
u
v
−
∫
u
v
′
d
x
.
{\displaystyle \int u'v\,\mathrm {d} x=uv-\int uv'\,\mathrm {d} x{\mbox{.}}}
∫
(
x
⋅
cos
x
)
d
x
=
x
⋅
sin
x
−
∫
sin
x
d
x
=
x
⋅
sin
x
+
cos
x
+
C
{\displaystyle \int (x\cdot \cos x)\,\mathrm {d} x=x\cdot \sin x-\int \sin x\,\mathrm {d} x=x\cdot \sin x+\cos x+C}
u
=
x
,
v
′
=
cos
x
{\displaystyle u=x,v^{\prime }=\cos x}
Pro nalezení
∫
x
2
sin
x
d
x
{\displaystyle \int x^{2}\sin x\,\mathrm {d} x}
u
=
x
2
,
v
=
sin
x
{\displaystyle u=x^{2},v=\sin x}
∫
x
2
sin
x
d
x
=
−
x
2
cos
x
+
2
∫
x
cos
x
d
x
{\displaystyle \int x^{2}\sin x\,\mathrm {d} x=-x^{2}\cos x+2\int x\cos x\mathrm {d} x}
u
=
x
,
v
′
=
cos
x
{\displaystyle u=x,v^{\prime }=\cos x}
∫
x
cos
x
d
x
=
x
sin
x
−
∫
sin
x
d
x
=
x
sin
x
+
cos
x
{\displaystyle \int x\cos x\mathrm {d} x=x\sin x-\int \sin x\mathrm {d} x=x\sin x+\cos x}
∫
x
2
sin
x
d
x
=
−
x
2
cos
x
+
2
(
x
sin
x
+
cos
x
)
+
C
{\displaystyle \int x^{2}\sin x\mathrm {d} x=-x^{2}\cos x+2(x\sin x+\cos x)+C}
editovat
Rychlá výpočetní metoda není rozšířením metody per partes.
Jedná se o mnemotechnickou pomůcku usnadňující zapamatování postupu výpočtu, jeho zpřehlednění
a následně usnadní i kontrolu.
Formálně je možné metodu naznačit následovně:
∫
u
(
x
)
v
″
(
x
)
d
x
=
D
e
r
i
v
a
c
e
I
n
t
e
g
r
a
c
e
u
(
x
)
v
″
(
x
)
+
↘
u
′
(
x
)
v
′
(
x
)
−
↘
u
″
(
x
)
v
(
x
)
⟶
+
∫
=
+
u
(
x
)
v
′
(
x
)
−
u
′
(
x
)
v
(
x
)
+
∫
u
″
(
x
)
v
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int u(x)v''(x)\,\mathrm {d} x={\begin{array}{|ccc|}Derivace&&Integrace\\\hline \color {green}{u(x)}&&v''(x)\\&\color {green}{+ \atop \searrow }&\\\color {blue}{u'(x)}&&\color {green}{v'(x)}\\&\color {blue}{- \atop \searrow }&\\\color {red}{u''(x)}&&\color {blue}{v(x)}\\&\color {red}{\longrightarrow \atop {+\int }}&\\\end{array}}=\color {green}{\,+u(x)v'(x)}\color {blue}{\,-u'(x)v(x)}\color {red}{\,+\int u''(x)}\color {blue}{v(x)}\color {red}{\,\mathrm {d} x}}
Při integraci součinu dvou funkcí se vytvoří dvousloupcová tabulka, kde se v prvním sloupci derivuje jeden z činitelů a ve druhém sloupci se integruje druhý. V každém kroku (řádku) tabulky si klademe otázku zda jsme schopni integrovat součin na daném řádku. Pokud ne, vytvoří se další řádek. Pokud ano, doplní se šipky
(
+
↘
−
↘
+
↘
−
↘
+
↘
…
{\displaystyle \textstyle {+ \atop \searrow }\,\textstyle {- \atop \searrow }\,\textstyle {+ \atop \searrow }\,\textstyle {- \atop \searrow }\,\textstyle {+ \atop \searrow }\,\dots }
A) Klasické použití rychlé metody per partes (čtyřnásobné):
∫
x
3
e
x
d
x
=
D
I
x
3
e
x
+
↘
3
x
2
e
x
−
↘
6
x
e
x
+
↘
6
e
x
−
↘
0
e
x
⟶
+
∫
=
x
3
e
x
−
3
x
2
e
x
+
6
x
e
x
−
6
e
x
+
C
{\displaystyle \int x^{3}\mathrm {e} ^{x}\,\mathrm {d} x={\begin{array}{|ccc|}D&&I\\\hline x^{3}&&\mathrm {e} ^{x}\\&{+ \atop \searrow }&\\3x^{2}&&\mathrm {e} ^{x}\\&{- \atop \searrow }&\\6x&&\mathrm {e} ^{x}\\&{+ \atop \searrow }&\\6&&\mathrm {e} ^{x}\\&{- \atop \searrow }&\\0&&\mathrm {e} ^{x}\\&{\longrightarrow \atop {+\int }}&\\\end{array}}=x^{3}\mathrm {e} ^{x}-3x^{2}\mathrm {e} ^{x}+6x\mathrm {e} ^{x}-6\mathrm {e} ^{x}+C}
B) Zacyklení v případech integrace součinu exponenciálních a goniometrických funkcí :
∫
e
x
sin
x
d
x
⏟
K
=
D
I
e
x
sin
x
+
↘
e
x
−
cos
x
−
↘
e
x
−
sin
x
⟶
+
∫
=
−
e
x
cos
x
+
e
x
sin
x
−
∫
e
x
sin
x
d
x
⏟
K
{\displaystyle \underbrace {\int \mathrm {e} ^{x}\sin x\,\mathrm {d} x} _{\color {green}{K}}={\begin{array}{|ccc|}D&&I\\\hline \mathrm {e} ^{x}&&\sin x\\&{+ \atop \searrow }&\\\mathrm {e} ^{x}&&-\cos x\\&{- \atop \searrow }&\\\mathrm {e} ^{x}&&-\sin x\\&{\longrightarrow \atop {+\int }}&\\\end{array}}=-\mathrm {e} ^{x}\cos x+\mathrm {e} ^{x}\sin x-\underbrace {\int \mathrm {e} ^{x}\sin x\,\mathrm {d} x} _{\color {green}{K}}}
tj.
K
=
−
e
x
cos
x
+
e
x
sin
x
−
K
⟹
K
=
1
2
e
x
(
sin
x
−
cos
x
)
+
C
{\displaystyle \quad {\color {green}{K}}=-\mathrm {e} ^{x}\cos x+\mathrm {e} ^{x}\sin x-{\color {green}{K}}\qquad \Longrightarrow \qquad {\color {green}{K}}={\frac {1}{2}}\mathrm {e} ^{x}\left(\sin x-\cos x\right)+C}
C) Rozšíření na součin v případech kdy má smysl pracovat s derivací integrandu:
∫
ln
x
d
x
=
∫
1
⋅
ln
x
d
x
=
D
I
ln
x
1
+
↘
1
x
x
⟶
−
∫
=
x
ln
x
−
∫
1
x
⋅
x
d
x
=
x
ln
x
−
x
+
C
{\displaystyle \int \ln x\,\mathrm {d} x=\int 1\cdot \ln x\,\mathrm {d} x={\begin{array}{|ccc|}D&&I\\\hline \ln x&&1\\&{+ \atop \searrow }&\\{\frac {1}{x}}&&x\\&{\longrightarrow \atop {-\int }}&\\\end{array}}=x\ln x-\int {\frac {1}{x}}\cdot x\,\mathrm {d} x=x\ln x-x+C}
∫
arctg
x
d
x
=
∫
1
⋅
arctg
x
d
x
=
D
I
arctg
x
1
+
↘
1
1
+
x
2
x
⟶
−
∫
=
x
arctg
x
−
∫
x
1
+
x
2
d
x
=
x
arctg
x
−
1
2
ln
(
1
+
x
2
)
+
C
{\displaystyle \int {\mbox{arctg }}x\,\mathrm {d} x=\int 1\cdot {\mbox{arctg }}x\,\mathrm {d} x={\begin{array}{|ccc|}D&&I\\\hline {\mbox{arctg }}x&&1\\&{+ \atop \searrow }&\\{\frac {1}{1+x^{2}}}&&x\\&{\longrightarrow \atop {-\int }}&\\\end{array}}=x\,{\mbox{arctg }}x-\int {\frac {x}{1+x^{2}}}\,\mathrm {d} x=x\,{\mbox{arctg }}x-{\frac {1}{2}}\ln(1+x^{2})+C}
editovat
∫
e
α
x
cos
ω
x
d
x
=
e
α
x
(
ω
sin
ω
x
+
α
cos
ω
x
)
α
2
+
ω
2
+
C
∫
e
α
x
sin
ω
x
d
x
=
e
α
x
(
α
sin
ω
x
−
ω
cos
ω
x
)
α
2
+
ω
2
+
C
,
C
∈
R
{\displaystyle {\begin{array}{ll}\displaystyle \int e^{\alpha x}\cos \omega x\,\mathrm {d} x&=\displaystyle {\frac {e^{\alpha x}(\omega \sin \omega x+\alpha \cos \omega x)}{\alpha ^{2}+\omega ^{2}}}+C\\\displaystyle \int e^{\alpha x}\sin \omega x\,\mathrm {d} x&=\displaystyle {\frac {e^{\alpha x}(\alpha \sin \omega x-\omega \cos \omega x)}{\alpha ^{2}+\omega ^{2}}}+C,\quad C\in \mathbb {R} \end{array}}}
atd.
…
{\displaystyle \quad \dots \quad }
[1] [2]
∫
cos
n
x
d
x
=
J
n
potom
J
n
+
2
=
1
n
+
2
cos
n
+
1
x
sin
x
+
n
+
1
n
+
2
J
n
∫
sin
n
x
d
x
=
J
n
potom
J
n
+
2
=
−
1
n
+
2
sin
n
+
1
x
cos
x
+
n
+
1
n
+
2
J
n
∫
d
x
(
1
+
x
2
)
n
=
J
n
potom
J
n
+
1
=
1
2
n
(
x
(
1
+
x
2
)
n
+
(
2
n
−
1
)
J
n
)
{\displaystyle {\begin{array}{lcl}\displaystyle \int \cos ^{n}x\,\mathrm {d} x=J_{n}&\quad {\mbox{potom}}\quad &J_{n+2}=\,\,{\frac {1}{n+2}}\,\cos ^{n+1}x\,\sin x\,+\,{\frac {n+1}{n+2}}\,J_{n}\\\displaystyle \int \sin ^{n}x\,\mathrm {d} x=J_{n}&{\mbox{potom}}&J_{n+2}=-{\frac {1}{n+2}}\sin ^{n+1}x\,\cos x\,+\,{\frac {n+1}{n+2}}\,J_{n}\\\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} x}{(1+x^{2})^{n}}}=J_{n}&{\mbox{potom}}&J_{n+1}=\,\,{\frac {1}{2n}}\left(\;{\frac {x}{(1+x^{2})^{n}}}+(2n-1)\,J_{n}\;\right)\end{array}}}
atd.
…
{\displaystyle \quad \dots \quad }
[1] [2]
Nechť
u
(
x
)
{\displaystyle u(x)}
v
(
x
)
{\displaystyle v(x)}
⟨
a
,
b
⟩
{\displaystyle \langle a,b\rangle }
⟨
a
,
b
⟩
{\displaystyle \langle a,b\rangle }
[1]
∫
a
b
u
′
v
d
x
=
[
u
v
]
a
b
−
∫
a
b
u
v
′
d
x
.
{\displaystyle \int _{a}^{b}u'v\,\mathrm {d} x=\left[uv\right]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}uv'\,\mathrm {d} x{\mbox{.}}}
Zápis
[
u
v
]
a
b
{\displaystyle \left[uv\right]_{a}^{b}}
Newtonova určitého integrálu .
∫
0
π
(
x
⋅
sin
x
)
d
x
=
[
−
x
⋅
cos
x
]
0
π
+
∫
0
π
cos
x
d
x
=
π
{\displaystyle \int _{0}^{\pi }(x\cdot \sin x)\,\mathrm {d} x={\bigl [}-x\cdot \cos x{\bigr ]}_{0}^{\pi }+\int _{0}^{\pi }\cos x\,\mathrm {d} x=\pi }
u
=
x
{\displaystyle u=x}
v
′
=
sin
x
{\displaystyle v^{\prime }=\sin x}
editovat
∫
0
π
x
3
sin
x
d
x
=
D
I
x
3
sin
x
+
↘
3
x
2
−
cos
x
−
↘
6
x
−
sin
x
+
↘
6
cos
x
−
↘
0
sin
x
⟶
+
∫
=
[
−
x
3
cos
x
+
3
x
2
sin
x
+
6
x
cos
x
−
6
sin
x
+
C
]
0
π
=
π
3
−
6
π
{\displaystyle \int _{0}^{\pi }x^{3}\sin x\,\mathrm {d} x={\begin{array}{|ccc|}D&&I\\\hline x^{3}&&\sin x\\&{+ \atop \searrow }&\\3x^{2}&&-\cos x\\&{- \atop \searrow }&\\6x&&-\sin x\\&{+ \atop \searrow }&\\6&&\cos x\\&{- \atop \searrow }&\\0&&\sin x\\&{\longrightarrow \atop {+\int }}&\\\end{array}}={\Bigl [}-x^{3}\cos x+3x^{2}\sin x+6x\cos x-6\sin x+C{\Bigr ]}_{0}^{\pi }=\pi ^{3}-6\pi }
↑ a b c d
KAREL REKTORYS A SPOLUPRACOVNÍCI. Přehled užité matematiky. 7. vyd. Praha: Prometheus, 2000. ISBN 8071961795
↑ a b
BARTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce. 3., rev. vyd. Přeložil Zdeněk TICHÝ. Praha: Mladá fronta, 1996. ISBN 80-2040607-7
![{\displaystyle \int _{a}^{b}u'v\,\mathrm {d} x=\left[uv\right]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}uv'\,\mathrm {d} x{\mbox{.}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fa762e08f40ec47c59bfdd9171e4b43549e5cf0)
![{\displaystyle \left[uv\right]_{a}^{b}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d901ff9edc269ea3191af5c34314574f86153208)
![{\displaystyle \int _{0}^{\pi }(x\cdot \sin x)\,\mathrm {d} x={\bigl [}-x\cdot \cos x{\bigr ]}_{0}^{\pi }+\int _{0}^{\pi }\cos x\,\mathrm {d} x=\pi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a58dec841de45255c997fc0dc56809e6d258ce5b)
![{\displaystyle \int _{0}^{\pi }x^{3}\sin x\,\mathrm {d} x={\begin{array}{|ccc|}D&&I\\\hline x^{3}&&\sin x\\&{+ \atop \searrow }&\\3x^{2}&&-\cos x\\&{- \atop \searrow }&\\6x&&-\sin x\\&{+ \atop \searrow }&\\6&&\cos x\\&{- \atop \searrow }&\\0&&\sin x\\&{\longrightarrow \atop {+\int }}&\\\end{array}}={\Bigl [}-x^{3}\cos x+3x^{2}\sin x+6x\cos x-6\sin x+C{\Bigr ]}_{0}^{\pi }=\pi ^{3}-6\pi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd8c6ba6fdb1cc626118a69b51f9fc0d020be06e)
