Pro porozumění tomuto článku je nutné znát pojem derivace a diferenciál.

Diferencovatelnost je v matematice vlastnost reálných funkcí anebo obecnějších geometrických struktur. Diferencovatelná funkce v bodě je v matematické analýze taková funkce, která má v určitém bodě diferenciál. Obdobně lze definovat diferencovatelnost na intervalu, případně na celém definičním oboru.

Příklad diferencovatelné funkce z R do R, jejího diferenciálu v bodě a její tečny

Neformální úvod

editovat

Funkce je diferencovatelná, pokud se dá na okolí každého bodu aproximovat lineární funkcí, odpovídající tečné přímce nebo rovině. Znamená to, že funkce je spojitá, nemá "hroty" a v žádném směru neroste nekonečně rychle. Funkce jedné reálné proměnné jsou diferencovatelné, pokud mají v daném bodě konečnou derivaci. Ilustrativní příklady:

  •   není diferencovatelná v nule, neboť tam má "hrot".
  •  . Tato funkce není diferencovatelná v bodě  . Spojitá je všude v  , ale v nule nekonečně rychle roste.
  •   má obě parciální derivace v (0, 0) (a dokonce i všechny derivace ve směru) a je v tomto bodě spojitá, ale ne diferencovatelná, neboť nemá tečnou rovinu (rovina {z=y} neaproximuje funkci dostatečně v bodech x=y).

Formální definice diferencovatelnosti funkce

editovat

Funkce f je diferencovatelná na množině M, pokud pro každé   existuje její diferenciál  . Funkce je spojitě diferencovatelná, pokud se diferenciál mění bod od bodu spojitě. Funkce f definovaná na otevřené množině U je k krát spojitě diferencovatelná, pokud má všechny parciální derivace k-tého řádu spojité. Značíme  .

Popis diferencovatelných funkcí

editovat

Funkce jedné reálné proměnné

editovat

Funkce   je v bodě   diferencovatelná právě tehdy, existuje-li konečná derivace funkce   v bodě  . Konečnost derivace je důležitá, neboť například funkce signum má v nule nekonečnou derivaci, ale ne diferenciál.

Funkce   je na diferencovatelná na intervalu   s krajními body  , jestliže jsou splněny tyto tři podmínky:

  1.  
  2.  
  3.  

Tedy funkce na jednorozměrném intervalu je diferencovatelná, pokud má konečnou derivaci ve všech vnitřních bodech i konečné jednostranné derivace v obou koncových bodech intervalu.

Funkce f je spojitě diferencovatelná, pokud její derivace f' je spojitá.

Někdy se diferencovatelnost uvažuje jen na otevřených intervalech, a pak v definici není druhá a třetí podmínka.

Funkce více reálných proměnných

editovat

Postačující podmínka pro existenci diferenciálu funkce   v bodě c je existence a spojitost parciálních derivací f na okolí c. Diferenciál se obvykle definuje na vnitřních bodech definičního oboru. Pokud existují na otevřené množině spojité parciální derivace f podle všech proměnných, je f spojitě diferencovatelná.

Funkce na hladké varietě

editovat

Funkce f definovaná na hladké varietě M je diferencovatelná, pokud pro každou mapu   je složení   diferencovatelná.

Zobrazení mezi vícerozměrnými prostory

editovat

Zobrazení   je diferencovatelné, pokud je diferencovatelná každá jeho složka. Podobně pro zobrazení mezi libovolnými hladkými varietami.

Vlastnosti diferencovatelných funkcí

editovat
  • Funkce, která je diferencovatelná v bodě, je v tomto bodě spojitá. Stejně pro libovolný interval.
  • Součet, rozdíl, součin diferencovatelných funkcí je též diferencovatelný. Podíl f/g, kde g je nenulová, je diferencovatelný.
  • Složení diferencovatelných zobrazení je diferencovatelné.
  • Diferencovatelnou funkci lze aproximovat na okolí vnitřního bodu definičního oboru Taylorovým polynomem.
  • Diferencovatelná funkce má všechny derivace ve směru a tato derivace závisí na směru lineárně.

Příklady

editovat
 
Weierstrassova funkce příklad spojité funkce, která není diferencovatelná
  • Exponenciální, logaritmické, konstantní, mocninné, goniometrické, cyklometrické, hyperbolické a hyperbolometrická funkce jsou diferencovatelné na celém definičním oboru s výjimkou případně množiny izolovaných bodů.
  • Funkce   není analytickou, a přesto je diferencovatelná na celém  .
  • Funkce definovaná předpisem   je diferencovatelná v bodě 0, ale není spojitě diferencovatelná, neboť její derivace není spojitá.[p 1]
  • Weierstrassova funkce přestože je spojitá na celém   není v žádném bodě definičního oboru diferencovatelná.

Hladká funkce

editovat
Související informace naleznete také v článku Hladká funkce.

Funkce f se nazve hladká na otevřené množině U, pokud má spojité derivace všech řádů (u funkce více proměnných parciální derivace). Značíme  .

Holomorfní funkce

editovat
Související informace naleznete také v článku holomorfní funkce.

Obdobou diferencovatelné funkce v oboru komplexních čísel je holomorfní funkce.

Další významy

editovat
  • Diferencovatelná struktura - atlas hladké variety.
  • Diferenciální forma - hladká sekce kotečného bundlu variety
  • Diferencovatelný bundl - bundl, ve kterém jsou přechodové funkce diferencovatelné

Poznámky

editovat
  1. Derivace této funkce má tvar :  a tato zjevně nemá limitu pro x = 0.

Související články

editovat

Reference

editovat
  • Kopáček, J.: Matematická analýza pro fyziky , I., II. díl, Matfyzpress
  • Fučík, S., Milota, J.: Matematická analýza II, Diferenciální počet funkcí více proměnných, skripta MFF UK, Praha, 1980