Gama funkce

Gama funkce (někdy také označovaná jako Eulerův integrál druhého druhu) je zobecněním faktoriálu pro obor komplexních čísel. Používá se v mnoha oblastech matematiky, např. pro popis některých rozdělení pravděpodobnosti.

Graf funkce gama pro reálná čísla.

Funkce je značena pomocí řeckého písmene gama a je definována jako holomorfní rozšíření integrálu:

$\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}\mathrm {e} ^{-t}\,\mathrm {d} t$

Ačkoliv integrál samotný konverguje jen, je-li reálná část z kladná, gama funkce je definována pro libovolné komplexní číslo, kromě nekladných celých čísel.

Vlastnosti

Funkce $\Gamma$ je spojitá pro $z>0$. Funkce $\Gamma$ diverguje pro celá $z\leq 0$. Tyto body jsou póly prvního řádu a odpovídající rezidua jsou $\operatorname {Res} _{z=k,k\in \mathbb {Z} ,k\leq 0}\Gamma (z)={\frac {(-1)^{-k}}{\Gamma (-k)}}$. Jiné singularity nemá a jedná se tedy o funkci meromorfní v celém oboru $\mathbb {C}$.

Pro n-tou derivaci platí vztah

$\Gamma ^{(n)}(z)=\int \limits _{0}^{\infty }t^{z-1}\mathrm {e} ^{-t}\ln ^{n}t\,\mathrm {d} t$.

V oblasti kladných reálných čísel má gama funkce minimum v bodě $x\approx 1{,}461\,6$.

Užitečné vztahy

• Pro přirozená čísla $n$ platí $\Gamma (n)=(n-1)!\,$
• Pro kladná polocelá čísla můžeme psát pomocí dvojného faktoriálu

$\Gamma \left({\tfrac {n}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}{\frac {(n-2)!!}{2^{\frac {n-1}{2}}}}$

• $\Gamma (z+1)=z\Gamma (z)\,$
• $\Gamma (z)\Gamma (1-z)={\frac {\pi }{\sin {\pi z}}}\;{\mbox{ pro }}0<z<1$
• $\Gamma (z)\Gamma \left(z+{\frac {1}{2}}\right)={\frac {\sqrt {\pi }}{2^{2z-1}}}\Gamma (2z)$

Některé hodnoty

$x$	$\Gamma (x)$
$-2$	nedefinováno
$-{\frac {3}{2}}$	${\frac {4{\sqrt {\pi }}}{3}}$
$-1$	nedefinováno
$-{\frac {1}{2}}$	$-2{\sqrt {\pi }}$
$0$	nedefinováno
${\frac {1}{2}}$	${\sqrt {\pi }}$
$1$	$0!=1$
${\frac {3}{2}}$	${\frac {\sqrt {\pi }}{2}}$
$2$	$1!=1$
${\frac {5}{2}}$	${\frac {3{\sqrt {\pi }}}{4}}$
$3$	$2!=2$
${\frac {7}{2}}$	${\frac {15{\sqrt {\pi }}}{8}}$
$4$	$3!=6$

Grafy

• 
  Reálná část Γ(z)
• 
  Imaginární část Γ(z)
• 
  Absolutní hodnota Γ(z)
• 
  Absolutní hodnota Γ(z), 3D pohled

Související články

• Beta funkce

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu gama funkce na Wikimedia Commons
• Gama funkce v encyklopedii MathWorld (anglicky)
• Online kalkulátor Gama funkce

Autoritní data	PSH: 7533 GND: 4289118-8 NDL: 00562231

Portály: Matematika