Eulerův–Maclaurinův vzorec je v matematice vzorec pro rozdíl mezi integrálem a sumou tento integrál aproximující. Lze jej použít pro aproximaci integrálů konečnými součty nebo opačně pro vyhodnocení konečných součtů a nekonečných řad pomocí integrálů a numerické řešení úloh infinitezimálního počtu. Z tohoto vzorce je odvozeno mnoho asymptotických rozvojů, a jeho bezprostředním důsledkem je Faulhaberův vzorec pro sumu mocnin.
Vzorec objevili okolo roku 1735 nezávisle Leonhard Euler a Colin Maclaurin. Euler jej potřeboval pro výpočty pomalu konvergujících nekonečných řad, zatímco Maclaurin jej používal pro vypočet integrálů. Později byl zobecněn na Darbouxův vzorec.
(viz obdélníková metoda). Eulerův–Maclaurinův vzorec poskytuje výrazy pro rozdíl mezi součtem a integrálem s použitím vyšších derivací vyčíslených v koncových bodech intervalu x = m a x = n.
Explicitně pro libovolné kladné celé číslop a libovolnou funkci f(x), která je p krát diferencovatelná na intervalu , platí
kde Bk je k-té Bernoulliho číslo (s ) a Rp je chybový člen, který závisí na n, m, p, a f a obvykle je pro vhodné hodnoty p malý.
Vzorec se často píše tak, že dolní index nabývá pouze sudých hodnot, protože lichá Bernoulliho čísla jsou nula kromě pro B1:[1][2]
Protože integrál obvykle není přesně roven součtu, obsahuje vzorec zbytkový člen. Vzorec lze odvodit opakovanou aplikací integrace per partes na sebe navazujících intervalech pro r = m, m + 1, …, n − 1. Hraniční členy v těchto integracích dávají hlavní členy vzorce, a zbylé integrály tvoří zbytkový člen.
Zbytkový člen lze přesně vyjádřit pomocí periodizované Bernoulliho funkce Pk(x). Bernoulliho polynomy je možné definovat rekurzivně vztahem B0(x) = 1 a, pro k ≥ 1,
Periodizovaná Bernoulliho funkce je definována vztahem
kde ⌊x⌋ označuje největší celé číslo menší nebo rovné x, takže x − ⌊x⌋ vždy leží v intervalu .
S touto notací je zbytkový člen Rp roven
Pro k > 0 lze ukázat, že
kde ζ je Riemannova funkce zeta; jednou z možností, jak tuto nerovnost dokázat, je použít Fourierovu řadu pro polynomy Bk(x). Meze jsou dosaženy pro sudé k, pokud x = 0. Člen ζ(k) lze pro lichá k vynechat, ale důkaz je v tomto případě složitější.[3] Pomocí této nerovnosti lze velikost zbytkového členu odhadnout jako
Euler v roce 1735 vypočítal tento součet na 20 desítkových míst pomocí několika málo členů Eulerova–Maclaurinova vzorce. To jej pravděpodobně přesvědčilo, že součet se rovná , což ve stejném roce dokázal.[4]
Je-li f je Polynom a p je dostatečně velké, pak zbytkový člen bude mít nulovou hodnotu. Pokud například f(x) = x3, můžeme zvolit p = 2 po zjednodušení dostaneme
Vzorec poskytuje prostředek pro aproximaci integrálu na omezeném intervalu. Nechť a < b jsou koncové body intervalu integrace. Zvolíme N – počet bodů použitých pro aproximaci, takže velikost kroku bude
a xi = a + (i − 1)h, tedy x1= a a xN = b. Dostáváme[5]
Tento vzorec můžeme chápat jako rozšíření lichoběžníkového pravidla o opravné členy. Tento asymptotický rozvoj obvykle nekonverguje – existuje určité p, závisející na f a h, takové, že členy od řádu p rychle rostou. Na zbytkový člen je tedy třeba dávat velký pozor.[5]
Při výpočtech asymptotických rozvojů součtů a řad je obvykle nejužitečnější tento tvar Eulerova–Maclaurinova vzorce:
kde a a b jsou celá čísla.[6] Rozvoj zůstává často platný dokonce i po limitním přechodu a → −∞, b → +∞ nebo obou. V mnoha případech lze integrál na pravé straně vyčíslit v uzavřeném tvaru pomocí elementárních funkcí, přestože součet na levé straně takto vyjádřit nelze. Pak lze pomocí elementárních funkcí vyjádřit všechny členy asymptotické řady. Například
Zde je levá strana rovna ψ(1)(z), jmenovitě polygamma funkci prvního řádu definované vztahem
Gama funkceΓ(z) je rovna (z − 1)!, je-li z je přirozené číslo. Dostáváme asymptotický rozvoj pro ψ(1)(z). Naopak tento rozvoj slouží jako východisko pro jedno z odvození přesného odhadu chyby ve Stirlingově vzorci pro funkci faktoriál.
Použitím , a sečtením výše uvedených výrazů od k = 0 do k = n − 1, dostaneme
Přičtením k oběma stranám a přeskupením členů dostaneme
Výsledkem je sumační vzorec pro p = 1. Pro pokračování indukce aplikujeme integraci per partes na chybový člen:
kde
Výsledek integrace per partes je
Sečtením od k = 0 do k = n − 1 a substitucí za chybový člen nižšího řádu vede ke vzorci pro p = 2:
Celý postup lze opakovat. Tímto způsobem dostaneme důkaz Eulerova–Maclaurinova sumačního vzorce, který lze formalizovat matematickou indukcí, při níž indukční krok využívá integraci per partes a identit pro periodické Bernoulliho funkce.
Je zde použita šablona {{Refbegin}} označená jako k „pouze dočasnému použití“.
GOULD, H. W.; SQUIRE, William, 1963. Maclaurin's second formula and its generalization. The American Mathematical Monthly. Roč. 70, čís. 1, s. 44–52. DOI10.2307/2312783. JSTOR2312783.