Distribuce (matematika)

Tento článek je o zobecněných funkcích. Další významy jsou uvedeny na stránce distribuce.

Zobecněné funkce, neboli distribuce, představují velmi užitečný nástroj nejen v matematice, ale především v pokročilých partiích moderní fyziky. Jedná se o spojité lineární funkcionály definované na speciálních množinách funkcí. Na těchto funkcionálech jsou dále zavedeny dodatečné operace jako derivace, konvoluce či Fourierova transformace.

Teorii zobecněných funkcí vytvořil a rozvinul francouzský matematik Laurent Schwartz. Již předtím se ale objevily intuitivní koncepty objektů s vlastnostmi zobecněných funkcí. Typickým příkladem je Diracova -funkce.

Motivace zavedení pojmu

editovat

V první polovině dvacátého století zavedl anglický teoretický fyzik Paul Dirac formálně funkci   s následujícími vlastnostmi

 
 

Aby mohl být integrál nenulový, tak se formálně "definuje"  . Pojem  -funkce Dirac zavedl více méně intuitivně. Výborně se hodil pro popis fyzikálních jevů, se kterými pracoval. Ve skutečnosti ale žádná taková funkce  , která by splňovala výše uvedené vlastnosti, neexistuje. Až později toto intuitivní chápání upřesnil L. Schwartz, jenž rozvinul teorii zobecněných funkcí. V rámci jeho teorie lze postavit pojem  -funkce na pevný matematický základ. Je ale nutné zavést jakousi "mezivrstvu" mezi definičním oborem funkce a jejími hodnotami. Zatímco intuitivně chápaná  -funkce je definovaná na množině reálných čísel   a její hodnoty jsou (více méně) opět reálná čísla, matematicky korektně definovaná  -funkce zobrazuje z množiny jistých "pěkně se chovajících funkcí" do reálných čísel. Zmíněné "pěkné" funkce samotné jsou pak definovány na "původní" množině  . Nemůžeme už tak dále mluvit o hodnotě  -funkce v nějakém reálném bodě, nanejvýš o její hodnotě na nějaké konkrétní "pěkné" funkci.

Definice zobecněné funkce a související pojmy

editovat

Než budeme moci přikročit k definici zobecněné funkce, musíme zavést několik průvodních pojmů. Zobecněná funkce bude jistý funkcionál definovaný na jisté množině funkcí. Specifikujme nyní, jakou množinu funkcí máme přesně na mysli.

Testovací funkce

editovat

Mějme přirozené číslo  . Označme množinu všech hladkých funkcí s kompaktním nosičem definovaných na   jako   a nazývejme ji prostor testovacích funkcí (každou funkci z tohoto prostoru tedy nazýváme testovací funkce). Uvažujme na tomto prostoru takovou topologii, v níž posloupnost testovacích funkcí   konverguje k testovací funkci   na prostoru  , právě když mají funkce   stejnoměrně omezené nosiče a pro každý multiindex   je pro   splněno

 

kde symbol   značí stejnoměrnou konvergenci a symbol   označuje parciální derivaci funkce podle proměnných, jejichž index leží v multiindexu  . Neboli

 

kde   a  ,  .

V dalším je užitečné neuvažovat zobecněné funkce definované na celém prostoru, ale jen na jeho podmnožině. K tomu si zaveďme následující pojem.

Nechť   je otevřená podmnožina  . Definujme prostor   jako množinu těch testovacích funkcí z  , jejichž nosič leží v  . Obdobně jako u   si na   zaveďme konvergenci posloupnosti testovacích funkcí. O posloupnosti   testovacích funkcí z   řekneme, že konverguje k   v prostoru  , právě když platí současně:

  1.  
  2.  

Symbolem   označujeme nosič funkce  .

Zobecněné funkce

editovat

Definujeme, že lineární zobrazení  , popř.  , je spojité, právě když toto zobrazení zobrazuje každou posloupnost, která konverguje v  , opět na konvergentní posloupnost. Lineární funkcionál na prostoru testovacích funkcí  , který je spojitý ve smyslu předchozí věty, nazveme zobecněnou funkcí neboli distribucí. Množinu všech těchto zobecněných funkcí označíme  , pro   budeme pro odpovídající množinu zobecněných funkcí používat označení  . Hodnotu funkcionálu   na testovací funkci   budeme (namísto obvyklého  ) značit  . Toto značení nepřipomíná značení skalárního součinu náhodně, pro analogii viz regulární zobecněné funkce níže.

Linearita zobecněné funkce   znamená, že

 

Navíc na množině   lze klasickým způsobem zavést operace sčítání dvou zobecněných funkcí a jejich násobení komplexním číslem. A sice

 

Je snadné ukázat, že množina zobecněných funkcí   s výše zavedenými operacemi sčítání a násobení číslem tvoří vektorový prostor. Budeme-li navíc uvažovat výraz  , kde   a  , jako hodnotu zobrazení   dvou proměnných s argumenty   a  , tak je toto zobrazení bilineární.

Definujme nyní konvergenci posloupnosti zobecněných funkcí. Řekneme, že posloupnost   zobecněných funkcí konverguje k   v prostoru  , právě když pro každou testovací funkci   existuje limita číselné posloupnosti funkčních hodnot funkcí   na   a tato posloupnost konverguje k  . V symbolech

 

Konvergence na prostoru   je tedy zavedena ve slabém smyslu.

Reálné a komplexní zobecněné funkce

editovat

O zobecněné funkci řekneme, že je reálná, právě když zobrazuje každou reálnou testovací funkci na reálné číslo. Lze definovat i komplexně sdruženou zobecněnou funkci   k zobecněné funkci   vztahem

 

V tuto chvíli lze zavést i reálnou a imaginární část zobecněné funkce   vztahy

 

Zobecněná funkce je zjevně reálná, právě když je rovna své reálné části.

Nosič zobecněné funkce

editovat

Ačkoli, jak již bylo zmíněno, nemůžeme hovořit o hodnotě zobecněné funkce v bodě, lze zavést pojem nosiče zobecněné funkce. Než tak učiníme, řekněme si, co chápeme pod tím, že je někde zobecněná funkce nulová. Mějme otevřenou množinu   a zobecněnou funkci  . Pak řekneme, že   je rovna nule na množině  , právě když

 

Navíc, řekneme, že   je rovna nule lokálně na množině  , právě když

 

Je jasné, že pokud je   rovna nule na  , tak je rovna nule i na každé její podmnožině  . Lze ukázat i opačné tvrzení, tj. je-li zobecněná funkce lokálně rovna nule na otevřené množině, tak je na této množině rovna nule ve smyslu definic výše. Nyní už můžeme přikročit k definici nosiče zobecněné funkce.

Uvažujme všechny   coby otevřené podmnožiny  , na kterých je zobecněná funkce   rovna nule. Označme si sjednocení všech takových množin jako  . Tato množina je zřejmě největší otevřená množina, na níž je   rovna nule. Její doplněk, tj. množinu   pak nazýváme nosič zobecněné funkce   a značíme  .

Pokud má zobecněná funkce   omezený nosič, tak řekneme, že je   finitní.

Regulární zobecněné funkce

editovat

Mějme   otevřenou množinu v   vybavenou Lebesgueovou mírou. O měřitelné funkci   definované na   řekneme, že je lokálně integrovatelná, právě když je splněno

 

Podobně jako u p-integrabilních funkcí i zde uvažujme množinu všech lokálně integrovatelných funkcí na  , kterou vyfaktorizujeme podle množiny lokálně integrovatelných funkcí nenulových na množině míry nula. Jinými slovy, uvažujme množinu integrabilních funkcí faktorizovanou podle množiny těch lokálně integrovatelných funkcí  , pro něž  . Vzniklý faktorprostor označíme  , popř. jen  , a nazveme prostor lokálně integrovatelných funkcí. Správně tedy prvky tohoto prostoru nejsou funkce samotné, ale jejich třídy ekvivalence. Jak je ale obvyklé, budeme dále považovat za prvky prostoru lokálně integrovatelných funkcí funkce samotné, ne jejich třídy ekvivalence.

Je též dobré si uvědomit, že funkce   je lokálně integrovatelná na  , právě když pro každou kompaktní podmnožinu   je zúžení   z prostoru  .

Buď nyní   a definujme funkcionál   na   jako

 

Integrál výše je konečný, protože ve skutečnosti neintegruji přes celou množinu  , ale pro každou konkrétní testovací funkci   integruji vždy jen přes její nosič  , což je kompaktní množina (viz poznámku před vzorcem výše). Díky linearitě integrálu je funkcionál   též lineární. Navíc je i spojitý (ve smyslu konvergence zavedené výše). Mějme posloupnost   konvergující v   k funkci  . Všechny nosiče   jsou tedy podmnožinou nějaké kompaktní množiny   a pro limitu hodnot integrálu platí

 

Nyní využijeme toho, že posloupnost   konverguje na   stejnoměrně (viz definici konvergence na prostoru testovacích funkcí), abychom mohli zaměnit limitu s integrálem. Dostáváme tedy

 

O funkcionálu   jsme tedy právě ukázali, že je dobře definovaný (integrál je pro každou testovací funkci konečný), lineární a spojitý. Jedná se tedy o zobecněnou funkci.

Dále definujeme, že obecná zobecněná funkce   je regulární zobecněná funkce, právě když existuje lokálně integrovatelná funkce   taková, že

 

Operace nad zobecněnými funkcemi

editovat

Na prostoru zobecněných funkcí   lze definovat zobrazení, jež lze chápat jako zobecnění operací nad klasickými funkcemi. Jedná se např. o násobení hladkou funkcí, derivování či Fourierovu transformaci. Vzhledem k tomu, že zobecněné funkce tvoří vektorový prostor, je výhodné, aby zobrazení definovaná na této množině byla lineární.

Operace nad   přitom zavádíme tak, že udáme, jak se zobecněná funkce vzniklá působením takové operace chová na testovacích funkcích. Tento postup lze chápat i tak, že když chceme definovat operaci  , tak se v podstatě snažíme najít k ní duální operaci   působící na prostoru testovacích funkcí  . Přesněji, pro dané   udáme   tak, aby

 

Od zobrazení   přitom požadujeme, aby přirozeným způsobem zobecňovalo operace definované na obyčejných funkcích (viz oddíly Motivace zavedení u každé operace níže). Vyjdeme z regulárních zobecněných funkcí, jimž lze přiřadit "obyčejnou" funkci, zjistíme jak se na nich diskutovaná operace chová a podle toho definujeme danou operaci pro všechny zobecněné funkce.

Mějme nyní   zobecněnou funkci. Platí, že spojitost zobrazení   již vynucuje spojitost funkcionálu  . Mějme posloupnost   jdoucí k nule v prostoru  . Dále nechť   je spojité zobrazení na prostoru testovacích funkcí. To znamená, že posloupnost   též konverguje k nule v  . Ze spojitosti   plyne

 

Ukažme ještě, že operátor   zavedený pomocí pomocného zobrazení   způsobem výše je nutně spojitý. Buď   posloupnost zobecněných funkcí konvergující k nule v prostoru  . Pak

 

Afinní transformace souřadnic

editovat

Afinní transformace na vektorovém prostoru je obecně transformace tvaru  , kde   je lineární zobrazení a   je vektor posunutí. Zaveďme nyní afinní transformaci pro zobecněné funkce.

Motivace zavedení

editovat

Aby byl pochopitelný způsob, jakým je afinní transformace pro zobecněné funkce zavedena, uveďme si příklad, na kterém demonstrujeme vlastnosti, které od transformace budeme požadovat. Mějme regulární matici  , kde  , vektor (resp. uspořádanou  -tici)  , lokálně integrabilní funkci   a funkci   definovanou předpisem

 

Uvažujme dále libovolnou testovací funkci  . Klasickými úpravami a větou o substituci v integrálu dostáváme

 

Díky tomuto vztahu je zřejmá podoba následující definice.

Definice

editovat

Mějme zobecněnou funkci  . Afinní transformaci pro tuto funkci s maticí   a vektorem posunutí   definujeme vztahem

 

Zde je třeba chápat výraz   jako nedělitelný. Jak bylo uvedeno výše a jak vyplývá z definice zobecněné funkce, nelze hovořit o hodnotě funkce v nějakém bodě z  . Symbol   představuje novou zobecněnou funkci. Výraz v závorce "pouze" označuje, jaké souřadnice na   jsme si zvolili a se kterými zrovna pracujeme.

Korektnost definice

editovat

Ověřme, že výše uvedená definice je konzistentní s dosavadními definicemi. Zobrazení   je zřejmě funkcionál na testovacích funkcích, který je navíc lineární. Ověřme tedy jeho spojitost (ve smyslu konvergence). Mějme tedy libovolnou posloupnost testovacích funkcí  , která konverguje k jisté testovací funkci  . Zde je dobré si uvědomit, že testovací funkce tvoří lineární prostor a proto stačí uvažovat případ  . Kdybychom totiž měli posloupnost   konvergující k  , tak dostaneme

 

Položíme-li  , platí

 

Máme tedy bez újmy na obecnosti posloupnost   konvergující v prostoru   k nule. Ověřme nejdříve spojitost zobrazení  , které každé testovací funkci přiřadí jinou testovací funkci předpisem

 

Funkce   je skutečně testovací funkce. Je totiž hladká (jedná se o složení dvou hladkých zobrazení) a má kompaktní nosič (samotná transformace   je difeomorfizmus a tedy převádí kompaktní množinu opět na kompaktní množinu). Zobrazení   je tedy dobře definované.

Jak je to s jeho spojitostí? Uvědomíme-li si, jakým způsobem se derivují složené funkce, je zjevné, že pro každý multiindex   je parciální derivace   nějakou lineární kombinací funkcí  , kde multiindexy   splňují  . Jestliže nyní máme posloupnost   konvergující v prostoru   k nule, má posloupnost   stejnoměrné omezené nosiče a konverguje zjevně včetně všech svých derivací stejnoměrně k nulové funkci. Tím jsme dokázali, že zobrazení   je spojité.

Definujme si nyní pomocnou posloupnost testovacích funkci  , kde  . Tato posloupnosti konverguje v prostoru   k nule a navíc podle definice afinní transformace platí

 

Pravá strana rovnice jde pro   k nule, což plyne ze spojitosti zobecněné funkce  . Takto jsme ověřili zatím jen spojitost funkcionálu  . Tj. ukázali jsme, že obraz zobecněné funkce při afinní transformaci je opět zobecněná funkce. Ukažme ještě, že samotná afinní transformace jako zobrazení na zobecněných funkcích je spojitá. Uvažujme tedy zobrazení   takové, že  . Toto zobrazení je lineární. Chceme o něm ukázat, že je spojité. Za tímto účelem si tedy vezměme posloupnost zobecněných funkcí   konvergující v prostoru   k nulové zobecněné funkci. Pak

 

Tím pádem je tedy splněn i vztah dokazující spojitost  , protože

 

Násobení hladkou funkcí

editovat

Definujme si nyní násobení zobecněné funkce "obyčejnou" hladkou funkcí. (Definovat násobení zobecněné funkce zobecněnou funkcí naráží na problémy a obecně takové násobení definovat nelze.)

Motivace zavedení

editovat

Mějme otevřenou množinu  , hladkou funkci   a testovací funkci  . Mějme dále funkci  . Je zřejmé, že i  . Potom

 

Definice

editovat

Nechť  . Mějme dále   a  . Pak

 

Korektnost definice

editovat

Pravá strana rovnice výše je dobře definovaná, neboť  . Násobek zobecněné funkce je tak dobře definovaný funkcionál na prostoru testovacích funkcí. Je zřejmě i lineární. Ověřme, že je spojitý, tj. že násobek zobecněné funkce hladkou funkcí je opět zobecněná funkce. Mějme nejprve   posloupnost testovacích funkcí takovou, že   v prostoru  . Pak v tomto prostoru k nulové funkci konverguje zřejmě i posloupnost  . Vynásobením funkcí   jsme totiž nosiče jednotlivých funkcí   nezvětšili, a jsou tedy stále stejnoměrně omezené. Navíc jdou všechny derivace   stejnoměrně k nule, protože z Leibnizova pravidla plyne, že lze funkci   vyjádřit pomocí derivací   a   pro jisté multiindexy  . Ty první jsou hladké funkce, ty druhé pak z předpokladu konvergence posloupnosti   v prostoru   konvergují stejnoměrně k nule. Máme tedy

 

což dokazuje spojitost funkcionálu   (ve druhé rovnosti jsme využili spojitosti funkcionálu  ).

Ověřili jsme tak, že násobek zobecněné funkce hladkou funkcí je opět zobecněná funkce. Ukažme nyní, že samotné násobení, coby zobrazení na prostoru zobecněných funkcí, je spojité (to, že je lineární, je zřejmé). Označme si toto zobrazení jako  . Buď   posloupnost zobecněných funkcí jdoucí k nule, tj.  . Pak ale  , což dokazuje spojitost.

Derivování zobecněných funkcí

editovat

Na prostoru zobecněných funkcí lze i korektně zavést operaci derivování. Od této zobecněné derivace požadujeme, aby se pro "pěkné" funkce redukovala na běžnou derivaci. Přesněji, chceme, aby zobecněná derivace dávala na funkcích ze třídy   téže výsledky jako derivace obyčejná. (Platí inkluze  .)

Motivace zavedení

editovat

Nechť   je otevřená podmnožina v  ,   a  . Ukotvěme si navíc jistý index  . Platí tedy, že   a navíc  . Upravíme-li integrál v definici regulární zobecněné funkce metodou per partes, obdržíme

 

Tento vztah vezmeme za definici zobecněné derivace.

Definice

editovat

Nechť   je otevřená,   a  . Pak

 

Přitom v případě   jde o běžnou derivaci testovací funkce a výraz   je definován právě vzorcem výše (  je nyní již libovolná zobecněná funkce, ne obecně regulární). Derivaci zavedené tímto způsobem říkáme zobecněná derivace či derivace v zobecněném smyslu.

Korektnost definice

editovat

Za prvé, definice výše má dobrý smysl. To lze snadno nahlédnout z toho, že zobrazení   pro každý multiindex   je spojité a lineární (platí  ). Takže zobrazení   je spojité a zobrazení   je spojitý funkcionál definovaný na  . Derivace   je spojitá i v zobecněném smyslu. Mějme   a posloupnost   jdoucí k nule v  . Platí

 

Pro zderivované zobecněné funkce také platí

 

Abychom ukázali vztah výše, nechť   je testovací funkce, jejíž nosič leží v doplňku nosiče zobecněné funkce  . Neboli  , kde  . Pak   a

 

To znamená, že   na  . Neboli   a tedy  .

Leibnizovo pravidlo

editovat

Ačkoli nelze obecně zavést násobení dvou zobecněných funkcí, můžeme uvažovat násobek zobecněné funkce hladkou funkcí a její derivaci. Pro takovouto derivaci platí, stejně jako pro klasické funkce, Leibnizovo pravidlo, tj.

 

Výraz výše lze dokázat matematickou indukcí, ukažme nyní její první část pro  . Buď  , pak

 

Neboli

 

Tenzorový součin zobecněných funkcí

editovat

Stejně jako u klasických funkcí můžeme i v případě zobecněných funkcí definovat jejich tenzorový součin. Toto zobrazení je přímým zobecněním tenzorového součinu klasických funkcí.

Motivace zavedení

editovat

V případě klasických funkcí je tenzorový součin definován následovně. Buď  ,  , pak jejich tenzorový součin je definován jako funkce   působící způsobem

 

Takto definované zobrazení vytvářející ze dvou funkcí jejich tenzorový součin je mimo jiné aditivní v obou svých proměnných. Na tenzorový součin dvou jistých funkcí   a   můžeme nahlížet jako na regulární zobecněnou funkci na prostoru  . Vezměme tedy funkci  , pak

 

kde jsme využili Fubiniovy věty.

Rozšíříme-li platnost vztahu výše pro všechny zobecněné funkce   a  , dostáváme následující definici, jejíž korektnost však musí být ještě dokázána.

Definice

editovat

Nechť   a  . Pak symbolem   rozumíme zobecněnou funkci z prostoru   působící na libovolnou   následujícím způsobem

 

Tuto zobecněnou funkci nazýváme tenzorový součin zobecněných funkcí   a  .

Korektnost definice

editovat

Lze dokázat, že je-li   a  , pak je funkce   prvkem prostoru  . Pravá strana definiční rovnosti výše má tedy dobrý smysl. Dá se též dokázat, že tenzorový součin definovaný vztahem výše je spojitý funkcionál.

Vlastnosti

editovat

Uveďme některé důležité vlastnosti tenzorového součinu ve smyslu zobrazení  . Pokud nebude uvedeno jinak, tak budeme uvažovat  ,  ,   a funkci   vždy libovolnou testovací funkci z odpovídajícího prostoru testovacích funkcí.

  • bilinearita
 
  • asociativita
 
  • komutativita
 
  • spojitost v obou argumentech - Mějme posloupnost zobecněných funkcí   konvergujících k   v prostoru  . Pak posloupnost   konverguje k  . Podobně, pokud posloupnost   konverguje k   v  , tak   konverguje k  .
  • derivace - Pro libovolný multiindex   platí (pro derivace podle proměnné   obdobně)
 
  • násobení hladkou funkcí - Buď  . Pak
 
  • transformační vlastnost - Buď  . Pak
 

Důkazy zmíněných vlastností

editovat
  • Bilinearita a asociativita

Bilinearita plyne ihned z příslušných definic. Zobecněné funkce tvoří lineární vektorový prostor. Pro důkaz asociativity stačí uvážit

 
  • Komutativita

Nejdříve uvažme testovací funkce následujícího tvaru

 

kde  ,   a   je libovolné přirozené číslo. Snadno nahlédneme, že funkce takovéhoto tvaru tvoří vektorový podprostor v prostoru  . Ukážeme nejprve, že tenzorový součin zúžený na tento podprostor je komutativní zobrazení. Protože jsou zobecněné funkce lineární zobrazení, můžeme se při důkazu bez újmy na obecnosti omezit na testovací funkce speciálního tvaru  , kde   a  . Pro ně platí

 

Lze též dokázat důležité tvrzení, že vektorový podprostor tvořený funkcemi definovanými výše je hustý v prostoru  . To znamená, že jakoukoli funkci z   můžeme vyjádřit jako limitu posloupnosti funkcí tvaru sumy, viz výše. Protože je tenzorový součin spojité zobrazení dostáváme limitním přechodem vztah komutativity pro libovolnou testovací funkci. Konkrétně, mějme zobecněné funkce  ,   a testovací funkci  . Dále nechť   je posloupnost funkcí tvaru sumy výše konvergující k   v prostoru  . Pak

 ,

kde jsme využili toho, že na funkcích   tenzorový součin komutuje, jak jsme ověřili výše. Máme tak dokázánu komutativitu pro jakoukoli testovací funkci.

  • Spojitost v obou argumentech

Ukažme platnost tvrzení pro první argument. Z komutativity bude již tvrzení platit i pro argument druhý:

 
  • Derivace

Mějme zobecněnou funkci   a testovací funkci  , pak lze ukázat, že funkce   leží v   a splňuje pro libovolné   vztah

 

Přiřazení   je navíc spojité. Využitím tohoto vztahu můžeme psát

 
  • Násobení hladkou funkcí a transformační vlastnost

Pro násobení hladkou funkcí ihned dostáváme

 

Pro transformační vlastnost v dokazovaném tvrzení pak

 

Příklady zobecněných funkcí

editovat

Diracova delta funkce

editovat
Podrobnější informace naleznete v článku Diracovo delta.

Uvažujme lineární funkcionál   působící na množině   způsobem

 

Tento funkcionál je spojitý. Platí totiž, že každá posloupnost testovacích funkcí   konvergující k nulové funkci splňuje  . Funkcionál   je tedy zobecněná funkce z  , kterou nazýváme Diracova  -funkce.

Vlastnosti

editovat

Vlastnosti prostoru testovacích funkcí

editovat
  • Nechť   a  . Pak prostor   je hustý v prostoru  -integrabilních funkcí  . Neboli (výraz   značí uzávěr vůči  -normě)
 

Regularizace

editovat

S některými funkcemi je výhodné pracovat jako se zobecněnými funkcemi. U některých funkcí ale nastává problém, že je nelze jako zobecněné funkce přímo chápat, protože nejsou lokálně integrovatelné a nemohou definovat žádnou regulární zobecněnou funkci. Tato obtíž se obchází pomocnou procedurou, které se říká regularizace. Ta spočívá v tom, že si danou funkci lehce upravíme na jí podobnou funkci, kterou již za zobecněnou funkci chápat lze.

Méně formálně řečeno můžeme za lehkou úpravu například považovat vhodné přičtení malého parametru k argumentu původní funkce. Takto upravená funkce již může být lokálně integrovatelná, definuje tedy zobecněnou funkci. Tu můžeme pustit na testovací funkci a obdržíme smysluplný (konečný) výsledek závisející na našem uměle vloženém malém parametru. Tento parametr pak můžeme (v některých případech) položit rovný nule a tvářit se, že jsme ho vůbec nepoužili.

Regularizace funkce 1x

editovat

Funkce   se vyskytuje v mnoha oblastech nejen matematiky, ale především fyziky. Za všechny jmenujme např. Coulombův či gravitační potenciál. Je tedy nutné s touto funkcí umět dobře zacházet a využívat jejích vlastností. Z pohledu zobecněných funkcí ale nastává problém v tom, že tuto funkci nelze chápat jako regulární zobecněnou funkci. Je totiž sice kromě nuly definovaná na celém reálném oboru  , není ale lokálně integrovatelná. Je zde tedy snaha o to tuto funkci nějakým způsobem regularizovat. V praxi se vyskytují především dva typy regularizace:

  1. regularizace integrálem ve smyslu hlavní hodnoty,
  2. regularizace přičtením malého parametru.

Pro bližší popis obou postupů viz níže.

Regularizace integrálem ve smyslu hlavní hodnoty

editovat

Celý postup spočívá v tom, že z množiny, přes kterou integrujeme v definici regulární zobecněné funkce, vyjmeme jistá (malá) symetrická okolí singulárních bodů o poloměru  . Původně lokálně neintegrabilní funkci lze nyní na této upravené množině po vynásobení testovací funkcí zintegrovat (dostaneme konvergentní integrál). Výsledek integrace nyní závisí na parametru  . Tento parametr následně pošleme k nule a za výsledek působení zregularizované funkce   na testovací funkci prohlásíme výsledek této limity.

Přesněji uvažujme kladný reálný parametr   a definujme posloupnost pomocných funkcí   následujícím způsobem:

 

Každá z funkcí   je zřejmě již lokálně integrovatelná a můžeme pomocí ní tedy zavést regulární zobecněnou funkci, kterou si pro jednoduchost opět označíme  . Její působení na libovolnou testovací funkci   vypadá takto:

 

Uvažujme nyní limitu   o níž lze ukázat, že existuje. Tento výraz můžeme dále upravovat

 

Nyní v prvním integrálu napravo provedeme substituci  , což nás přivede na celkový tvar

 

Abychom mohli tento výraz zjednodušit, rádi bychom provedli limitu a místo   v dolní mezi integrálu napsali nulu. Prozkoumejme, zda to můžeme udělat. Nejprve si všimneme, že

 

Funkce   definovaná předpisem

 

je tedy spojitá na celém  , především ale v nule už nenastává singularita. Jedná se tedy o omezenou funkci s kompaktním nosičem v  . Neboť je integrál spojitou funkcí své meze, tak skutečně můžeme provést danou limitu (integrál s nulou v dolní mezi zůstane konečný) s výsledkem

 

Konečně definujme zobrazení  , které dané testovací funkci   přiřadí integrál za poslední rovností výše. Máme tedy zobrazení

 

O tomto zobrazení jsme si výše ukázali, že je dobře definované. Zřejmě se také jedná o funkcionál (testovací funkci přiřazuje číslo). Je triviální ověřit, že je tento funkcionál lineární. Jednoduše se též dokáže, že je i spojitý. Představuje tedy zobecněnou funkci.

Pro funkci   jsme tak její regularizací nalezli zobecněnou funkci  , což byl náš cíl.

Zmiňme se ještě o názvu této procedury. Ten plyne z toho, že se limitě

 

obecně říká výpočet integrálu ve smyslu hlavní hodnoty.

Celkově tak máme

 


Regularizace přičtením malého parametru

editovat

Nyní se pokusíme funkci   zregularizovat tak, že k jejímu argumentu přičteme (malý) parametr. Konkrétně uvažujme jisté   a funkce  , popř.  . Přešli jsme tak od reálné funkce   ke dvěma vzájemně komplexně sdruženým funkcím, které už jsou lokálně integrovatelné (jsou dokonce hladké) a definují tedy regulární zobecněnou funkci. Jak níže ověříme, provedeme-li limitu  , dostaneme dobře definované zobecněné funkce. Ty se symbolicky značí  , popř.  , a platí

 

Omezíme se nyní na případ   a ověříme existenci limity ve výrazu výše. Důkaz pro funkci   je zcela stejný, zaměníme-li  .

Nejprve upravíme zlomek v integrandu výše následujícím způsobem

 

rozložili jsme ho tedy na reálnou a imaginární část. Spočtěme nyní patřičný integrál pro každý ze sčítanců zvlášť. Pro první člen dostáváme

 

Nyní substituujeme   v prvním integrálu a oba integrály sečteme s výsledkem

 

Zanalyzujme nyní integrand tohoto integrálu. První zlomek je určitě menší než jedna. Navíc, funkci

 

lze spojitě dodefinovat v nule (viz výše). Tato funkce má navíc omezený nosič, což implikuje její integrabilitu. Integrand tedy splňuje Lebesgueovu větu a můžeme zaměnit limitu a integrál. Neboli

 

Popasujme se nyní s druhým členem, pro nějž dostáváme

 

Tento výraz si upravíme substitucí   na tvar

 

Zlomek v integrandu představuje integrovatelnou funkci a absolutní hodnotu výrazu   lze seshora odhadnout konstantou, jež nezávisí na parametru  . Můžeme tedy opět využít Lebesgueovy věty, zaměnit tedy limitu a integrál, a máme

 

Vrátíme-li se k původnímu výrazu, tak sečtením výše odvozených výsledků dostáváme

 

V poslední rovnosti jsme využili definice Diracovy  -funkce a zobecněné funkce definované v prvním způsobu regularizace výše. Celkově tedy pro obě vzájemně komplexně sdružené regularizované funkce máme vztahy

 

které se nazývají Sochockého vzorce, popř. Sochockého formule.

Použití

editovat

Použití ve fyzice

editovat

Viz bodový náboj, kvantová teorie pole, kvantová mechanika, atd.

Použití v matematice

editovat

Řešení parciálních dif. rovnic, Greenovy funkce...

Literatura

editovat
  • SCHWARTZ, Laurent. Matematické metody ve fyzice. Praha: SNTL, 1972. 
  • ŠŤOVÍČEK, Pavel. Metody matematické fyziky I - Teorie zobecněných funkcí. Praha: Vydavatelství ČVUT, 2004. ISBN 80-01-02948-4.  – skripta FJFI ČVUT