Multilineární forma

Multilineární formu lze intuitivně chápat jako zobecnění lineární formy, eventuálně bilineární formy. Jde o zobrazení kartézského součinu vektorového prostoru na těleso jeho skalárů. Multilineární forma musí být v každé složce (proměnné) lineární zobrazení, to znamená, že při zafixování n-1 proměnných získáme lineární formu.

Definice

Nechť $Y$ je vektorový prostor nad tělesem $T$. Pak funkce

$\xi :Y^{n}\rightarrow T$

se nazývá multilineární forma, pokud pro $z\in T,w,v_{1},...v_{n}\in Y$ platí následující dva axiomy:

$F(v_{1}+w,v_{2},...v_{n})=F(v_{1},v_{2},...v_{n})+F(w,v_{2},...v_{n})\,$

$F(z\cdot v_{1},v_{2},...v_{n})=z\cdot F(v_{1},v_{2},...v_{n})$

Jedná se tedy o vektorovou funkcí více proměnných, která je v každé proměnné lineární. Multilineární forma je tenzor.

Antilineární zobrazení

Pokud by bylo z komplexní číslo, pak se v případě, že platí za stejných výchozích podmínek následující axiomy:

$F(v_{1}+w,v_{2},...v_{n})=F(v_{1},v_{2},...v_{n})+F(w,v_{2},...v_{n})\,$

$F(z\cdot v_{1},v_{2},...v_{n})={\overline {z}}\cdot F(v_{1},v_{2},...v_{n})$

jedná o antilineární zobrazení.

Příklad

Každá lineární i bilineární forma jsou multilineární formy.

Multilineární formou v prostoru se skalárním součinem je vnější součin vektorů.

Literatura

• HAMHALTER, Jan; TIŠER, Jaroslav. Diferenciální počet funkcí více proměnných. Praha: vydavatelství ČVUT, 1999. ISBN 80-01-01589-0. S. 139. 
• BICAN, Ladislav. Lineární algebra a geometrie. Praha: Academia, 2000. ISBN 80-200-0843-8. S. 197. 
• MOTL, Luboš; ZAHRADNÍK, Miloš. Pěstujeme lineární algebru. Praha: Karolinum, 2003. ISBN 80-246-0421-3. S. 337. 

Související články

• Lineární zobrazení
• Lineární forma
• Bilineární forma
• Kvadratická forma