Skalární součin
Skalární součin[1] je v matematice bilineární zobrazení , kde je vektorový prostor nad tělesem , přiřazující dvojici vektorů skalár.
Značení
editovatNejběžnější způsoby zápisu skalárního součinu vektorů a jsou:
- – značení používané hlavně v prostorech konečné dimenze
- – značení běžné ve funkcionální analýze
- – starší značení, dnes již méně používané
- – jako bilineární forma
- – při použití Diracovy notace v kvantové mechanice
Definice
editovatOperaci skalárního součinu dvou vektorů vektorového prostoru nad číselným tělesem ( ) definujeme jako symetrickou pozitivně definitní bilineární formu na vektorovém prostoru, tj. v -rozměrném aritmetickém vektorovém prostoru s kanonickou bází jako:
- ,
a definujeme-li normu libovolného vektoru vektorového prostoru jako druhou odmocninu skalárního součinu vektoru se sebou samým, pak z Cauchyho Schwarzovy a trojúhelníkové nerovnosti pro libovolné dva vektory a plyne nerovnost , tj.:
- ,
kde je úhel svíraný vektory a . Pro nulový skalární součin nenulových vektorů nutně platí, že svírají pravý úhel, pak říkáme, že tyto vektory jsou vzájemně ortogonální, tj. kolmé.
Vlastnosti
editovatpro všechny nenulové vektory a všechna platí:
- ve reálném vektorovém prostoru nad tělesem reálných čísel je skalární součin komutativní, tzn.:
- v komplexním vektorovém prostoru nad tělesem komplexních čísel, kde pruhem je značeno komplexní sdružení, platí:
Příklad
editovatMějme dva trojrozměrné vektory a . Potom jejich skalární součin je:
- .
Aplikace
editovat- pro dva vektory a , zapsané v nějaké jedné pevně zvolené bázi , lze skalární součin definovat jako:
- , kde je metrický tenzor (v tomto případě matice).
- pro dvě posloupnosti lze skalární součin definovat jako řadu:
- , pokud řada konverguje.
- , pokud integrál konverguje.
Reference
editovat- ↑ BICAN, Ladislav. Linearni algebra a geometrie (upr. vydání). [s.l.]: Academia, 2009. ISBN 978-80-200-1707-9.
Související články
editovatExterní odkazy
editovat- Obrázky, zvuky či videa k tématu skalární součin na Wikimedia Commons