Lebesgueova míra

Lebesgueova míra je v teorii míry standardní způsob přiřazení míry podmnožinám n-rozměrného eukleidovského prostoru. Pro n = 1, 2 nebo 3 se shoduje se standardním pojmem délky, plochy nebo objemu. Obecně se nazývá n-rozměrný objem, n-objem nebo jednoduše objem^{[pozn. 1]}. Lebesgueova míra se používá v analýze v reálném oboru především pro definici Lebesgueova integrálu. Množiny, kterým lze přiřadit Lebesgueovu míru, se nazývají Lebesgueovsky měřitelné; míra Lebesgueovsky měřitelné množiny A se v tomto článku označuje λ(A).

Lebesgueova míra je pojmenovaná po francouzském matematikovi Henri Lebesgueovi, který ji popsal v roce 1901. V roce 1902 vyšel jeho popis Lebesgueova integrálu. Obojí bylo publikováno jako část jeho disertace v roce 1902^[1].

Lebesgueova míra se často značí dx; toto označení nesmíme zaměňovat se stejně značenou objemovou formou variety.

Definice

Jestliže délku (otevřeného, uzavřeného nebo polouzavřeného) intervalu $I=\langle a,b\rangle$ označíme $\ell (I)=b-a$ , pak pro libovolnou podmnožinu $E\subseteq \mathbb {R}$ definujeme její Lebesgueovu vnější míru^[2] $\lambda ^{*}(E)$ jako

\lambda ^{*}(E)=\operatorname {inf} \left\{\sum _{k=1}^{\infty }\ell (I_{k}):{(I_{k})_{k\in \mathbb {N} }}{\text{ je posloupnost otevřených intervalů takových, že }}E\subseteq \bigcup _{k=1}^{\infty }I_{k}\right\}

.

Lebesgueova míra je definovaná na Lebesgueově sigma algebře, která je kolekcí všech množin E splňujících „Carathéodoryovo kritérium“. Toto kritérium požaduje, aby pro každé $A\subseteq \mathbb {R}$

\lambda ^{*}(A)=\lambda ^{*}(A\cap E)+\lambda ^{*}(A\cap E^{c})

.

Pro libovolnou množinu v Lebesgueově sigma algebře se Lebesgueova míra rovná její Lebesgueově vnější míře $\lambda (E)=\lambda ^{*}(E)$ .

Množiny, která nepatří do Lebesgueovy sigma algebry, nejsou Lebesgueovsky měřitelné. Takové množiny existují, tj. Lebesgueova sigma algebra je vlastní podmnožinou potenční množiny $\mathbb {R}$ .

Intuice

První část definice říká, že podmnožina $E$ reálných čísel je omezena na svou vnější míru pokrytím množinami otevřených intervalů. Každá z těchto množin intervalů $I$ pokrývá $E$ v tom smyslu, že sjednocení intervalů obsahuje $E$ . Celková velikost libovolné množiny intervalů pokrytí může být klidně větší než míra $E$ , protože $E$ je podmnožinou sjednocení intervalů, a intervaly tedy mohou obsahovat i body, které v $E$ nejsou. Lebesgueova vnější míra je největší dolní závora (infimum) velikostí všech možných takových množin. Intuitivně je to celková velikost takové množiny intervalů, které se vejdou do $E$ co nejtěsněji a nepřekrývají se.

Tím je definována Lebesgueova vnější míra. Zda je tato vnější míra také Lebesgueovou mírou množiny $E$ , závisí na další podmínce. Tato podmínka se ověřuje pomocí podmnožin reálných čísel $A$ , z nichž každá rozděluje množinu $E$ na dvě části: první část patří do $A$ i do $E$ (tj. průnik $A$ a $E$ ), druhá část patří do $A$ , ale nepatří do $E$ (tj. množinový rozdíl $A$ a $E$ ). Na tyto dvě části množiny $A$ se aplikuje vnější míra. Pokud součet vnějších měr obou částí je roven vnější míře celé množiny $A$ , a toto platí pro všechny množiny $A$ , které jsou podmnožinou reálných čísel, pak Lebesgueova míra množiny $E$ je rovna její vnější míře. Intuitivně to znamená, že množina $E$ nesmí mít nějaké podivné vlastnosti, které způsobí rozdíl v míře jiné množiny, pokud je množina $E$ použita jako „maska“, která „vyřezává“ z množin $A$ části, pro které Lebesgueova vnější míra nevytváří Lebesgueovu míru. (Takové množiny nejsou Lebesgueovsky měřitelné.)

Příklady

Jakýkoli uzavřený interval ⟨a, b⟩ reálných čísel je Lebesgueovsky měřitelný a jeho Lebesgueova míra je délka b−a. Otevřený interval (a, b) má stejnou míru, protože rozdíl uzavřeného a otevřeného intervalu sestává pouze z koncových bodů a a b a má míru nula.
Jakýkoli kartézský součin intervalů ⟨a, b⟩ a ⟨c, d⟩ je Lebesgueovsky měřitelný a jeho Lebesgueova míra je (b−a)(d−c), tj. plocha příslušného obdélníka.
Jakákoli Borelovská množina je Lebesgueovsky měřitelná; existují však Lebesgueovsky měřitelné množiny, které nejsou Borelovské.^[3]^[4]
Libovolná spočetná množina reálných čísel má Lebesgueovu míru 0.
Speciálně Lebesgueova míra množiny racionálních čísel z libovolného intervalu je 0, i když množina racionálních čísel je v intervalu hustá.
Cantorova množina je příkladem nespočetné množiny, která má Lebesgueovu míru nula.
Pokud platí axiom determinovanosti, pak všechny množiny reálných čísel jsou Lebesgueovsky měřitelné. Avšak axiom determinovanosti je nekompatibilní s axiomem výběru.
Vitaliho množiny jsou příkladem množin, které jsou neměřitelné pomocí Lebesgueovy míry. Jejich existence závisí na axiomu výběru.
Osgoodovy křivky jsou jednoduché rovinné křivky s kladnou Lebesgueovou mírou^[5] (lze dokázat malou úpravou konstrukce Peanovy křívky). Dračí křivka je dalším neobvyklým příkladem.
Libovolná přímka v $\mathbb {R} ^{n}$ pro $n\geq 2$ má Lebesgueovu míru nula; obecně každá vlastní nadrovina má v obklopujícím prostoru Lebesgueovu míru nula.

Vlastnosti

Translační invariance: Lebesgueova míra množiny

A+t

je stejná jako množiny

A

.

Lebesgueova míra na ℝⁿ má následující vlastnosti:

Jestliže A je kartézský součin intervalů I₁ × I₂ × ... × I_n, pak A je Lebesgueovsky měřitelná a $\lambda (A)=|I_{1}|\cdot |I_{2}|\cdots |I_{n}|$ , kde $|I|$ označuje délku intervalu I.
Jestliže A je disjunktní sjednocení spočetně mnoha disjunktních Lebesgueovsky měřitelných množin, pak A je také Lebesgueovsky měřitelná a λ(A) se rovná sumě měr příslušných množin.
Jestliže A je Lebesgueovsky měřitelná, pak je měřitelný i její doplněk.
Pro každou Lebesgueovsky měřitelnou množinu A je λ(A) ≥ 0.
Jestliže A a B jsou Lebesgueovsky měřitelné a A je podmnožinou B, pak λ(A) ≤ λ(B). (Důsledek bodů 2, 3 a 4.)
Spočetná sjednocení a průniky Lebesgueovsky měřitelných množin jsou Lebesgueovsky měřitelné. (Toto není důsledek bodů 2 a 3, protože systém množin, který je uzavřený na doplňky a disjunktní spočetná sjednocení, nemusí být uzavřený na spočetná sjednocení: $\{\emptyset ,\{1,2,3,4\},\{1,2\},\{3,4\},\{1,3\},\{2,4\}\}$ .)
Jestliže A je otevřená nebo uzavřená podmnožina ℝⁿ (nebo dokonce borelovská množina, viz metrický prostor), pak A je Lebesgueovsky měřitelná.
Jestliže A je Lebesgueovsky měřitelná množina, pak je „skoro otevřená“ i „skoro uzavřená“ ve smyslu Lebesgueovy míry (viz věta o regularitě pro Lebesgueovu míru).
Lebesgueovsky měřitelnou množinu lze „vmáčknout“ mezi nějakou její otevřenou nadmnožinu a uzavřenou podmnožinu. Tato vlastnost se používá jako alternativní definice Lebesgueovské měřitelnosti. Přesněji $E\subset \mathbb {R}$ je Lebesgueovsky měřitelná právě tehdy, když pro každé $\varepsilon >0$ existuje otevřená množina $G$ a uzavřená množina $F$ tak, že $F\subset E\subset G$ a $\lambda (G\setminus F)<\varepsilon$ .^[6]
Lebesgueovsky měřitelnou množinu lze „vmáčknout“ mezi nějakou její nadmnožinu G_δ a podmnožinu F_σ. Tj. pokud A je Lebesgueovsky měřitelná , pak existuje nějaká G_δ množina G a nějaká F_σ množina F taková, že G ⊇ A ⊇ F a λ(G \ A) = λ(A \ F) = 0.
Lebesgueova míra, která je lokálně konečná a vnitřně regulární, je Radonova míra.
Lebesgueova míra je striktně kladná na neprázdných otevřených množinách, takže její nosič je celé ℝⁿ.
Jestliže A je Lebesgueovsky měřitelná množina míry nula, pak každá podmnožina A je také množina míry nula. Tedy každá podmnožina množiny míry nula je měřitelná.
Jestliže A je Lebesgueovsky měřitelná a x je prvek ℝⁿ, pak translace A by x, definovaný by A + x = {a + x : a ∈ A}, je také Lebesgueovsky měřitelná a má stejnou míru jako A.
Jestliže A je Lebesgueovsky měřitelná a $\delta >0$ , pak dilation $A$ o $\delta$ definovaná vztahem $\delta A=\{\delta x:x\in A\}$ je také Lebesgueovsky měřitelná a má míru $\delta ^{n}\lambda \,(A).$
Obecněji, jestliže T je lineární transformace a A je měřitelná podmnožina ℝⁿ, pak T(A) je také Lebesgueovsky měřitelná a má míru $|\det(T)|\,\lambda \,(A)$ .

Všechny výše uvedené body lze stručně shrnout takto:

Lebesgueovsky měřitelné množiny vytvářejí σ-algebru obsahující všechny součiny intervalů a λ je jednoznačná úplná translačně invariantní míra, na této σ-algebře taková, že

\lambda (\langle 0;1\rangle \times \langle 0;1\rangle \times \cdots \times \langle 0;1\rangle )=1.

Lebesgueova míra je také σ-konečná.

Množiny míry nula

Libovolná podmnožina ℝⁿ je množinou míry nula, jestliže pro každé ε > 0 může být pokryta spočetně mnoha součiny n intervalů, jejichž celkový objem je nejvýše ε. Všechny spočetné množiny jsou množinami míry nula.

Každá podmnožina ℝⁿ s Hausdorffovou dimenzí menší než n má míru nula vzhledem k n-rozměrné Lebesgueově míře. Hausdorffova dimenze je relativní vůči Eukleidovské metrice na ℝⁿ (nebo libovolné metrice s ní Lipschitzovsky ekvivalentní). Naopak množina, která má topologickou dimenzi menší než n, může mít kladnou n-rozměrnou Lebesgueovu míru. Příkladem je Smithova-Volterraova-Cantorova množina, která má topologickou dimenzi 0, ale má kladnou 1rozměrnou Lebesgueovu míru.

Pro důkaz, že daná množina A je Lebesgueovsky měřitelná, se obvykle snažíme nalézt „hezčí“ množinu B která se od A liší nejvýše o množinu míry nula (tj. symetrická diference (A − B) $\cup$ (B − A) je množina míry nula), a pak ukázat, že B lze generovat z otevřených nebo uzavřených množin pomocí spočetných sjednocení a průniků.

Konstrukce Lebesgueovy míry

Moderní konstrukce Lebesgueovy míry je aplikací Carathéodoryovy věty o rozšíření:

Nechť n ∈ N pevné. kostka v ℝⁿ je množina tvaru

B=\prod _{i=1}^{n}\langle a_{i},b_{i}\rangle \,,

kde b_i ≥ a_i a symbol součinu zde znamená kartézský součin. Objem této kostky je definovaný vztahem

\operatorname {vol} (B)=\prod _{i=1}^{n}(b_{i}-a_{i})\,.

Pro libovolnou podmnožinu A množiny ℝⁿ, můžeme definovat její vnější míru λ*(A) takto:

\lambda ^{*}(A)=\inf {\Bigl \{}\sum _{B\in {\mathcal {C}}}\operatorname {vol} (B):{\mathcal {C}}{\text{ je spočetná kolekce kostek, jejichž sjednocení pokrývá }}A{\Bigr \}}.

Pak řekneme, že množina A je Lebesgueovsky měřitelná, jestliže pro každou podmnožinu S množiny ℝⁿ,

\lambda ^{*}(S)=\lambda ^{*}(S\cap A)+\lambda ^{*}(S-A)\,.

Tyto Lebesgueovsky měřitelné množiny vytvářejí σ-algebru a Lebesgueova míra je definována vztahem λ(A) = λ*(A) pro libovolnou Lebesgueovsky měřitelnou množinu A.

Existence množin, které nejsou Lebesgueovsky měřitelné, je důsledkem axiomu výběru, který je nezávislý na mnoha obvyklých systémech axiomů teorie množin. Vitaliho věta, která vyplývá z axiomu výběru, tvrdí, že existují podmnožiny ℝ, které nejsou Lebesgueovsky měřitelné. S použitím axiomu výběru lze zkonstruovat různé neměřitelné množiny s mnoha překvapivými vlastnostmi, např. Banachův-Tarského paradox.

V roce 1970 ukázal Robert M. Solovay, že existence množin, které nejsou Lebesgueovsky měřitelné, není dokazatelná v rámci Zermelovy-Fraenkelovy teorie množin bez použití axiomu výběru (viz Solovayův model).^[7]

Vztah k jiným mírám

Borelovská míra souhlasí s Lebesgueovou mírou na těch množinách, pro které je definovaná; ale existuje mnohem více lebesgueovsky měřitelných množin než borelovsky měřitelných množin. Borelovská míra je translačně invariantní, ale není úplná.

Haarova míra může být definována na libovolné lokálně kompaktní grupě a je zobecněním Lebesgueovy míry (ℝⁿ s přídavek je lokálně kompaktní grupa).

Hausdorffova míra je zobecněním Lebesgueovy míry na jest užitečný pro určení míry podmnožiny ℝⁿ nižších dimenzí než n, jako podvariety, například povrchy nebo křivky v ℝ³ a fraktální množiny. Nezaměňujte Hausdorffovu míru s pojetím Hausdorffovy dimenze.

Lze ukázat, že neexistuje nekonečněrozměrná Lebesgueova míra.

Odkazy

Poznámky

↑ Termín objem se častěji používá ve speciálnějším významu jako synonymum 3rozměrného objemu

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Lebesgue measure na anglické Wikipedii.

↑ LEBESGUE, Henri. Intégrale, longueur, aire. Paříž: Université de Paris, 1902.
↑ ROYDEN, H.L. Real analysis. 3. vyd. New York: Macmillan, 1988. ISBN 978-0024041517.
↑ Asaf Karagila. What sets are Lebesgue-measurable? [online]. math stack exchange [cit. 2019-12-26]. Dostupné online.
↑ Asaf Karagila. Is there a sigma-algebra on R strictly between the Borel and Lebesgue algebras? [online]. math stack exchange [cit. 2019-12-26]. Dostupné online.
↑ OSGOOD, William F. A Jordan Curve of Positive Area. Transactions of the American Mathematical Society. American Mathematical Society, leden 1903, roč. 4, čís. 1. Dostupné online [cit. 2019-12-26]. ISSN 0002-9947. DOI 10.2307/1986455. JSTOR 1986455.
↑ CAROTHERS, N. L. Real Analysis. Cambridge: Cambridge University Press, 2000. 293 s. Dostupné v archivu pořízeném z originálu. ISBN 9780521497565.
↑ SOLOVAY, Robert M. A model of set-theory in which every set of reals is Lebesgue measurable. Annals of Mathematics. 1970, s. 1–56. DOI 10.2307/1970696. JSTOR 1970696.

Související články

[1] Termín objem se častěji používá ve speciálnějším významu jako synonymum 3rozměrného objemu

[2] LEBESGUE, Henri. Intégrale, longueur, aire. Paříž: Université de Paris, 1902.

[Royden-3] ROYDEN, H.L. Real analysis. 3. vyd. New York: Macmillan, 1988. ISBN 978-0024041517.

[4] Asaf Karagila. What sets are Lebesgue-measurable? [online]. math stack exchange [cit. 2019-12-26]. Dostupné online.

[5] Asaf Karagila. Is there a sigma-algebra on R strictly between the Borel and Lebesgue algebras? [online]. math stack exchange [cit. 2019-12-26]. Dostupné online.

[6] OSGOOD, William F. A Jordan Curve of Positive Area. Transactions of the American Mathematical Society. American Mathematical Society, leden 1903, roč. 4, čís. 1. Dostupné online [cit. 2019-12-26]. ISSN 0002-9947. DOI 10.2307/1986455. JSTOR 1986455.

[7] CAROTHERS, N. L. Real Analysis. Cambridge: Cambridge University Press, 2000. 293 s. Dostupné v archivu pořízeném z originálu. ISBN 9780521497565.

[8] SOLOVAY, Robert M. A model of set-theory in which every set of reals is Lebesgue measurable. Annals of Mathematics. 1970, s. 1–56. DOI 10.2307/1970696. JSTOR 1970696.

[pozn. 1]

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]