Diracovo delta

funkce, která má v jednom bodě hodnotu nekonečno a v ostatních je identická nule

Diracovo delta nebo Diracova -funkce se dá neformálně popsat jako funkce, která má v nule hodnotu nekonečno a všude jinde nulovou. Je značena řeckým písmenem delta. Její integrál přes celý prostor je roven jedné.

Schematická reprezentace Diracovy -funkce.
Diracova funkce jako limita
, kde H znamená Heavisideovu funkci

V souvislosti se zpracováním signálu bývá Diracova funkce označována také jako Diracův jednotkový impuls. (Jednotkový právě pro integrál rovný jedné)

V exaktním matematickém popisu není Diracova delta funkcí, ale distribucí. Diskrétním ekvivalentem Diracova delta je Kroneckerovo delta.

Vyjádření

editovat

Diracovu  -funkci lze vyjádřit různými způsoby. Pro komplexní čísla například ve tvaru integrálu.

 [1]

Nebo pomocí limit.

 [2]
 [3]
 [4]

Vlastnosti

editovat

Označení posunuté („doprava“) delta funkce:

 
  • Delta funkce je sudá funkce.
 
  • Působí jako jednotkový operátor při integraci.
 
  • Konvoluce libovolné funkce s delta funkcí je rovna této funkci.
 
  • Konvoluce s posunutou delta funkcí má za následek posunutí této funkce.
 
 
  • Z toho plyne, že zpětná Fourierova transformace jednotkové funkce je ve smyslu distribuce rovna delta funkci.
 
  • Pro Fourierovu transformaci posunuté delta funkce platí:
 
  • Je-li   funkce s kořeny  , platí:
 
  • Další vztahy:
 
 
 
 
 

Reference

editovat

Související články

editovat

Externí odkazy

editovat