Substituční metoda je metoda používaná při počítání s integrály. Při této metodě zavádíme do integrálu novou proměnnou.
Pokud lze funkci
vyjádřit na intervalu
ve tvaru
, kde
je spojitá v intervalu
a
je spojitá pro všechna
, pak pro
platí
,
kde byla použita substituce
.
Jiným případem je substituce
, kde funkce
je monotónní pro všechna
z intervalu
a má na tomto intervalu spojitou derivaci
. Potom platí
![{\displaystyle \int f(x)\mathrm {d} x=\int f(\phi (z))\phi ^{\prime }(z)\mathrm {d} z=H(z)+C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10c8a40d95aaf8c792b5db38b54f0494157813e0)
Výsledek získáme tak, že ze vztahu
vyjádříme proměnnou
a dosadíme do
.
Uvažujme uzavřenou n-rozměrnou oblast v proměnných pro , a uzavřenou n-rozměrnou oblast v proměnných . Mezi oblastmi a nechť existuje vzájemně jednoznačné zobrazení , přičemž existují spojité parciální derivace prvního řádu pro všechna a jakobián je nenulový, tzn. . Pokud je na oblasti definována spojitá ohraničená funkce , pak
-
V případě dvojného integrálu, kdy mezi oblastí o souřadnicích a oblastí o souřadnicích existuje vzájemně jednoznačné zobrazení , má jakobián tvar
-
Je-li , pak dostaneme pro funkci
-
V případě trojného integrálu, kdy mezi oblastí o souřadnicích a oblastí o souřadnicích existuje vzájemně jednoznačné zobrazení , má jakobián tvar
-
Je-li , pak pro funkci dostaneme výraz
-