Spektrální rozklad

V lineární algebře se spektrálním rozkladem čtvercové komplexní matice rozumí její kanonický tvar zapsaný pomocí matic sestavených z jejích vlastních čísel a vlastních vektorů.

Matice, které mají spektrální rozklad, se nazývají normální.

Spektrální rozklad patří mezi základní charakteristiky matice a využívá se v oblastech, jako jsou kvantová mechanika, zpracování signálu a numerická analýza.

Definice

Vlastní rozklad^[1] čtvercové matice ${\boldsymbol {A}}$ nad libovolným tělesem $T$ je její zápis jako součin tří matic ${\boldsymbol {Q\Lambda Q}}^{-1}$ , kde ${\boldsymbol {Q}}$ je regulární matice, jejíž sloupce tvoří vlastní vektory ${\boldsymbol {A}}$ , diagonální matice ${\boldsymbol {\Lambda }}$ s vlastními čísly matice ${\boldsymbol {A}}$ na diagonále a matice inverzní k matici ${\boldsymbol {Q}}$ . Matice mající vlastní rozklad se nazývá diagonalizovatelná, protože je dle této definice podobná diagonální matici.

Spektrální rozklad je vlastním rozkladem komplexní matice, kde je matice ${\boldsymbol {Q}}$ sestavena z ortonormální báze vlastních vektorů, čili je unitární.

V české literatuře bývá termín spektrální rozklad někdy používán i pro vlastní rozklad.

Název je odvozen z termínu pro množinu vlastních čísel tzv. spektra matice.

Ukázky

Rozklad reálné matice:

{\begin{pmatrix}0&2\\-1&3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}}^{-1}

je vlastním rozkladem. Vlastní vektory nejsou na sebe navzájem kolmé, proto uvedená matice nemá spektrální rozklad a není normální.

Oproti tomu rozklad reálné matice:

{\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}&-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}3&0\\0&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}&-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}^{-1}

je spektrálním rozkladem, protože vlastní vektory tvoří ortonormální bázi. (Zde dokonce platí ${\boldsymbol {Q}}^{-1}={\boldsymbol {Q}}$ .)

Ukázkou spektrálního rozkladu komplexní (zde hermitovské) matice, je součin:

{\begin{pmatrix}2&{\frac {2(1+i)}{3}}&{\frac {-1-i}{3}}\\[1mm]{\frac {2(1-i)}{3}}&{\frac {2}{3}}&{\frac {2i}{3}}\\[1mm]{\frac {-1+i}{3}}&-{\frac {2i}{3}}&{\frac {7}{3}}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {2}{3}}&{\frac {-3+i}{3{\sqrt {3}}}}&{\frac {-1-2i}{3{\sqrt {3}}}}\\[2mm]{\frac {1}{3}}&{\frac {2i}{3{\sqrt {3}}}}&{\frac {4+2i}{3{\sqrt {3}}}}\\[2mm]{\frac {2}{3}}&{\frac {3-2i}{3{\sqrt {3}}}}&{\frac {-1+i}{3{\sqrt {3}}}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2&0&0\\0&3&0\\0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\frac {2}{3}}&{\frac {-3+i}{3{\sqrt {3}}}}&{\frac {-1-2i}{3{\sqrt {3}}}}\\[2mm]{\frac {1}{3}}&{\frac {2i}{3{\sqrt {3}}}}&{\frac {4+2i}{3{\sqrt {3}}}}\\[2mm]{\frac {2}{3}}&{\frac {3-2i}{3{\sqrt {3}}}}&{\frac {-1+i}{3{\sqrt {3}}}}\end{pmatrix}}^{-1}

Matice ${\begin{pmatrix}3&2\\0&3\end{pmatrix}}$ není diagonalizovatelná, a proto nemá žádný vlastní ani spektrální rozklad.

Existence

Vlastní rozklad

Vlastní čísla $\lambda$ a vlastní vektory ${\boldsymbol {x}}$ čtvercové matice ${\boldsymbol {A}}$ řádu $n$ jsou řešením lineární rovnice ${\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {x}}=\lambda {\boldsymbol {x}}$ . Pokud má tato soustava $n$ lineárně nezávislých řešení ${\boldsymbol {x}}_{1},\dots ,{\boldsymbol {x}}_{n}$ odpovídajících $\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}$ , lze z vlastních vektorů ${\boldsymbol {x}}_{1},\dots ,{\boldsymbol {x}}_{n}$ sestavit regulární matici ${\boldsymbol {Q}}$ a vlastní čísla umístit na diagonálu diagonální matice ${\boldsymbol {\Lambda }}$ . Pro takto sestavené matice pak platí ${\boldsymbol {AQ}}={\boldsymbol {Q\Lambda }}$ , protože $i$ -tý sloupec v uvedeném součinu odpovídá rovnici ${\boldsymbol {Ax}}_{i}=\lambda _{i}{\boldsymbol {x}}_{i}$ .

Matice ${\boldsymbol {Q}}$ je regulární, a proto rovnost ${\boldsymbol {AQ}}={\boldsymbol {Q\Lambda }}$ lze upravit na ekvivalentní vztah ${\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {Q\Lambda Q}}^{-1}$ vynásobením ${\boldsymbol {Q}}^{-1}$ zprava.

Rovnici ${\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {x}}=\lambda {\boldsymbol {x}}$ lze převedením obou členů na levou stranu a vytknutím ${\boldsymbol {x}}$ upravit na ekvivalentní rovnici $({\boldsymbol {A}}-\lambda \mathbf {I} ){\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {0}}$ , kde $\mathbf {I}$ značí jednotkovou matici. Tato rovnice odpovídá homogenní soustavě lineárních rovnic. Homogenní soustavy mají netriviální řešení právě když matice soustavy je singulární, čili když má nulový determinant. Determinant matice ${\boldsymbol {A}}-t\mathbf {I}$ je polynom stupně $n$ v proměnné $t$ a nazývá se charakteristický polynom matice ${\boldsymbol {A}}$ a značí se $p_{\boldsymbol {A}}(t)$ . Z uvedeného vyplývá, že $\lambda$ je vlastním číslem matice ${\boldsymbol {A}}$ , právě když je kořenem jejího charakteristického polynomu, čili když dosazení $\lambda$ za $t$ dává $p_{\boldsymbol {A}}(\lambda )=0$ .

Matici ${\boldsymbol {\Lambda }}$ lze sestavit z vlastních čísel, právě když lze charakteristický polynom rozložit na součin lineárních polynomů $p_{\boldsymbol {A}}(t)=\prod _{i=1}^{n}(\lambda _{i}-t)$ . Násobnost $\lambda _{i}$ coby kořene charakteristického polynomu se nazývá algebraická násobnost vlastního čísla a odpovídá počtu výskytů $\lambda _{i}$ na diagonále matice ${\boldsymbol {\Lambda }}$ .

Sloupce matice ${\boldsymbol {Q}}$ odpovídající $\lambda _{i}$ jsou bází prostoru řešení homogenní soustavy $({\boldsymbol {A}}-\lambda _{i}\mathbf {I} ){\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {0}}$ . Dimenze prostoru řešení se nazývá geometrická násobnost vlastního čísla $\lambda _{i}$ . Lze ukázat, že geometrická násobnost vlastního čísla nikdy nepřesáhne jeho algebraickou násobnost. Aby bylo možné sestavit vlastní rozklad s regulární maticí ${\boldsymbol {Q}}$ je proto nutné a postačující, aby se geometrická a algebraická násobnost každého vlastního čísla shodovaly.

Spektrální rozklad

Existence spektrálního rozkladu pro normální matice, tj. matice které v součinu komutují se svou hermitovsky sdruženou maticí, čili splňují ${\boldsymbol {A^{\mathrm {H} }A}}={\boldsymbol {AA^{\mathrm {H} }}}$ , vyplývá přímo ze Schurovy věty.

Užití

Inverzní matice

Pokud lze matici ${\boldsymbol {\boldsymbol {A}}}$ rozložit ${\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {Q\Lambda Q}}^{-1}$ a přitom má všechna vlastní čísla nenulová, pak ${\boldsymbol {\boldsymbol {A}}}$ je regulární a matice k ní inverzní je dána vztahem ${\boldsymbol {A}}^{-1}={\boldsymbol {Q}}{\boldsymbol {\Lambda }}^{-1}{\boldsymbol {Q}}^{-1}$ .

Inverzní matice k diagonální ${\boldsymbol {\Lambda }}$ je dána přímo vztahem: $\left({\boldsymbol {\Lambda }}^{-1}\right)_{ii}={\frac {1}{\lambda _{i}}}$ .

Vlastní rozklad matice z naměřených dat nemusí bez dalších úprav poskytovat použitelnou inverzní matici. Zejména relativně malá vlastní čísla podstatně ovlivňují hodnoty v inverzní matici. Ty, která jsou blízko nuly nebo jsou ovlivněna "šumem" měřicího systému, mohou mít nepřiměřený vliv a mohly by zneplatnit využití spočtené inverzní matice.^[2]

Funkční kalkulus

Vlastní rozklad umožňuje snadný výpočet mocninných řad matic. Pro mocninnou řadu:

f(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots

je hodnota $f({\boldsymbol {A}})$ matice s vlastním rozkladem ${\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {Q\Lambda Q}}^{-1}$ dána výrazem:

f({\boldsymbol {A}})={\boldsymbol {Q}}\,f({\boldsymbol {\Lambda }})\,{\boldsymbol {Q}}^{-1}

.

Matice ${\boldsymbol {\Lambda }}$ je diagonální, a tak lze funkce matice ${\boldsymbol {\Lambda }}$ snadno spočítat pomocí vztahu: $\left[f\left({\boldsymbol {\Lambda }}\right)\right]_{ii}=f\left(\lambda _{i}\right)$ . Prvky mimo diagonálu matice $f({\boldsymbol {\Lambda }})$ jsou nulové, a tudíž $f({\boldsymbol {\Lambda }})$ je také diagonální matice. Výpočet $f({\boldsymbol {A}})$ podstatně redukuje na výpočet hodnoty mocninné řady na každém z vlastních čísel a dva maticové součiny.

Podobná technika funguje obecněji pro holomorfní funkční kalkulus za použití již zmíněného vztahu ${\boldsymbol {A}}^{-1}={\boldsymbol {Q}}{\boldsymbol {\Lambda }}^{-1}{\boldsymbol {Q}}^{-1}$ . I v tomto případě platí $\left[f({\boldsymbol {\Lambda }})\right]_{ii}=f\left(\lambda _{i}\right)$ .

Ukázky

Pro funkce $f(x)=x^{2}$ , $f(x)=x^{n}$ a $f(x)=\exp {x}$ , resp., dostáváme vyjádření:

{\boldsymbol {A}}^{2}=({\boldsymbol {Q}}{\boldsymbol {\Lambda }}{\boldsymbol {Q}}^{-1})({\boldsymbol {Q}}{\boldsymbol {\Lambda }}{\boldsymbol {Q}}^{-1})={\boldsymbol {Q}}{\boldsymbol {\Lambda }}({\boldsymbol {Q}}^{-1}{\boldsymbol {Q}}){\boldsymbol {\Lambda }}{\boldsymbol {Q}}^{-1}={\boldsymbol {Q}}{\boldsymbol {\Lambda }}^{2}{\boldsymbol {Q}}^{-1}

,

{\boldsymbol {A}}^{n}={\boldsymbol {Q}}{\boldsymbol {\Lambda }}^{n}{\boldsymbol {Q}}^{-1}

a

\exp {\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {Q}}\exp({\boldsymbol {\Lambda }}){\boldsymbol {Q}}^{-1}

, přičemž

\exp {\boldsymbol {A}}

zde značí maticovou exponenciálu.

Numerické záležitosti

Výpočet vlastních čísel

V praxi se vlastní čísla velkých matic nepočítají pomocí charakteristického polynomu. Výpočet polynomu je sám o sobě nákladný a podle Abelovy-Ruffiniho věty nelze pro obecné polynomy stupně alespoň 5 odvodit vzorce pro vyjádření kořenů. Proto se pro určení vlastních čísel a vlastních vektorů používají iterativní numerické metody.

I když lze např. Newtonovou metodou aproximovat kořeny polynomů, používají se pro vlastní čísla jiné postupy než výpočet charakteristického polynomu a následná aproximace jeho kořenů. Jedním z důvodů je, že i malé zaokrouhlovací chyby v koeficientech charakteristického polynomu mohou vést k velkým chybám ve vlastních číslech a vlastních vektorech: kořeny jsou špatně podmíněny koeficienty polynomu.

Jednoduchým a dostatečně přesným iteračním postupem je mocninná metoda: Nejprve je vybrán náhodný vektor ${\boldsymbol {v}}$ a poté se spočítá posloupnost jednotkových vektorů ${\frac {{\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {v}}}{\left\|{\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {v}}\right\|}},{\frac {{\boldsymbol {A}}^{2}{\boldsymbol {v}}}{\left\|{\boldsymbol {A}}^{2}{\boldsymbol {v}}\right\|}},{\frac {{\boldsymbol {A}}^{3}{\boldsymbol {v}}}{\left\|{\boldsymbol {A}}^{3}{\boldsymbol {v}}\right\|}},\ldots$ Tato posloupnost téměř vždy konverguje k vlastnímu vektoru odpovídajícímu největšímu vlastnímu číslu za předpokladu, že ${\boldsymbol {v}}$ má nenulovou složku souřadnic u tohoto vlastního vektoru vzhledem k bázi z vlastních vektorů (a také za předpokladu, že jen jedno vlastní číslo má největší absolutní hodnotu).

Tento jednoduchý algoritmus je užitečný v některých praktických aplikacích; například Google jej používá k výpočtu hodnocení stránek dokumentů ve svém vyhledávači. Z mocninné metody vycházejí i sofistikovanější postupy, např. QR algoritmus.

Odkazy

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Eigendecomposition of a matrix na anglické Wikipedii.

↑ VLACH, Oldřich; DOSTÁL, Zdeněk. Aplikovaná Algebra (cvičení) [online]. [cit. 2024-07-14]. Dostupné online.
↑ HAYDEN, Andreas F.; TWEDE, David R. Observations on the relationship between eigenvalues, instrument noise, and detection performance. In: Seattle, WA: [s.n.], 2002-11-01. Dostupné online. doi:10.1117/12.453777. S. 355.

Literatura

BEČVÁŘ, Jindřich. Lineární algebra. 1. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 436 s. ISBN 978-80-7378-392-1.
HLADÍK, Milan. Lineární algebra (nejen) pro informatiky. 1. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 328 s. ISBN 978-80-7378-378-5.
OLŠÁK, Petr. Lineární algebra [online]. Praha: 2007 [cit. 2023-02-20]. Dostupné online.

Související články

[1] VLACH, Oldřich; DOSTÁL, Zdeněk. Aplikovaná Algebra (cvičení) [online]. [cit. 2024-07-14]. Dostupné online.

[2] HAYDEN, Andreas F.; TWEDE, David R. Observations on the relationship between eigenvalues, instrument noise, and detection performance. In: Seattle, WA: [s.n.], 2002-11-01. Dostupné online. doi:10.1117/12.453777. S. 355.

[1]

[2]