V lineární algebře je podobnost ekvivalencí na třídě čtvercových matic. Podobné matice představují stejné lineární zobrazení vzhledem k různým bázím.

Transformace se nazývá podobnostní transformace nebo konjugace matice . V obecné lineární grupě odpovídá podobnost konjugaci a podobné matice se také nazývají konjugované.


Definice

editovat

Dvě čtvercové matice   a   nazývají podobné, pokud existuje regulární matice   taková, že platí:

 

Aby měla rovnost smysl, musejí být všechny tři matice téhož řádu a nad stejným tělesem  .

Protože vynásobení regulární maticí je ekvivalentní úprava maticové rovnosti, je podmínka   ekvivalentní podmínkám   a také  .

Ukázka

editovat

Dvě reálné matice

  a  

si jsou navzájem podobné, protože pro regulární matici

 

platí:

 

Matice   není dána jednoznačně, protože i každý její nenulový skalární násobek   splňuje uvedenou rovnost.

 
Rotaci   o úhel   lze popsat jednoduchou maticí   vzhledem k souřadnému systému   vyznačenému zeleně. Matice  , popisující tu samou rotaci   vůči souřadnému systému  , je jí podobná.

Reprezentace lineárních zobrazení

editovat

U lineárních zobrazení se může stát, že změna báze může vést k jednoduššímu popisu zobrazení. Například u rotace v  , kdy osa rotace není zarovnaná s žádnou ze souřadnicových os, může být komplikované určit matici reprezentující tuto rotaci. Pokud by se však osa rotace shodovala např. s osou   nějakého jiného souřadného systému, pak lze rotaci jednoduše reprezentovat maticí:

 ,

kde   je úhel rotace. V tomto novém souřadném systému by bylo možné rotaci spočítat pomocí vztahu:

 ,

kde   a   jsou souřadnice vektorů takových, že   je obrazem   při uvedené rotaci.

V původním souřadném systému má pro rotaci platit:

 ,

kde vektory   a   i neznámá matice zobrazení   jsou vyjádřeny vzhledem k původnímu souřadnému systému neboli bázi. Pro výpočet matice   pomocí jednodušší matice   lze vyjít z matice přechodu  , která převádí   a   od původní k nové bázi tak, že   a  . Potom platí:

 

Matice v původní bázi,  , je tedy dána vztahem  . V důsledku je možné vyjádřit matici rotace vzhledem k původní bázi jako součin těchto tří snadno odvoditelných matic.

Obecně platí, že je-li   lineární zobrazení z vektorového prostoru   do   reprezentováno maticí   vzhledem k bázi  , potom matice   téhož zobrazení   vzhledem k bázi   splňuje  , kde   je matice přechodu od báze   k bázi  . Matice   nejprve převede souřadnice vektoru k bázi  , poté matice   provede zobrazení   a nakonec   převede souřadnice zpět k bázi  .

Matice   a   představují stejné zobrazení  , jen vůči různým bázím.


Vlastnosti

editovat

Součin s regulární maticí zachovává hodnost, proto hodnost podobných matic je shodná.

Jednotková matice je podobná pouze sama sobě, protože platí:  .

Relační vlastnosti

editovat

Každá matice je podobná sama sobě, protože za   lze zvolit jednotkovou matici.

Je-li matice   podobná matici  , lze ze vztahu   odvodit   pro   a tedy je i matice   podobná matici  .

Jsou-li si matice   a   podobné a zároveň si jsou podobné i   a  , je potom matice   podobná matici  , protože substituce   do vztahu   dává:  .

Z uvedeného vyplývá, že podobnost matic je reflexivní, symetrická a tranzitivní relace, a proto jde o ekvivalenci.

Charakteristický polynom

editovat

Dvě navzájem podobné matice   mají stejný charakteristický polynom, což přímo vyplývá z vlastností determinantu vzhledem k součinu a inverzi matic:

 

Podobné matice proto mají shodné atributy, které lze z charakteristického polynomu odvodit:

Opačné tvrzení však neplatí, protože např. matice   a   mají shodné charakteristické polynomy, ale nejsou si navzájem podobné.

Další invarianty

editovat

Podobné matice mají dále shodné:

Diagonalizovatelnost

editovat

O čtvercové matici   řekneme, že je diagonalizovatelná, právě když je podobná nějaké diagonální matici. Matice řádu   je diagonalizovatelná, právě když má   lineárně nezávislých vlastních vektorů.

Každá symetrická matice je diagonalizovatelná. Shoduje-li se počet různých vlastních čísel matice s jejím řádem, je diagonalizovatelná. Obrácená implikace neplatí, protože např. každá jednotková matice je diagonalizovatelná a přitom tyto matice mají jen jedno vlastní číslo a to 1.

Normální formy matic

editovat

Pro danou matici   může být vhodné nalézt její jednoduchou „normální formu“  , která je podobná  . Zkoumání některých vlastností   se pak redukuje na jednodušší matici  , jako například zkoumání vlastností diagonalizovatelných matic lze redukovat na diagonální matice.

Ne všechny matice jsou diagonalizovatelné, například matice   není podobná žádné diagonální matici.

Na druhou stranu, každá komplexní matice (resp. každá matice nad libovolným algebraicky uzavřeným tělesem ) je podobná „téměř diagonální matici“ – tzv. Jordanově normálním tvaru. Navíc platí, že dvě komplexní matice si jsou podobné právě když mají stejnou Jordanovu normální formu (až na pořadí buněk). Jordanova normální forma proto řeší problém invariance pro podobnost komplexních matic.

Ani jedna z těchto forem není jednoznačná (diagonální prvky, resp. Jordanovy bloky mohou být permutovány), takže se ve skutečnosti nejedná o normální formy. Jejich určení navíc závisí na schopnosti provést rozklad minimálního nebo charakteristického polynomu matice   na lineární členy (ekvivalentně určit její vlastní čísla).

Frobeniova normální forma tyto nevýhody nemá: existuje nad libovolným tělesem, je jednoznačná a lze ji vypočítat pouze pomocí aritmetických operací v daném tělese. Matice   a   jsou podobné tehdy a jen tehdy, mají-li stejnou Frobeniovu normální formu. Frobeniova normální forma je určena elementárními děliteli  . Tyto lze přímo vyčíst z Jordanova tvaru, ale lze je také určit přímo pro libovolnou matici výpočtem Smithovy normální formy.

Další vlastnosti

editovat

Podobnost matic nezávisí na výchozím tělese v následujícím smyslu: je-li   podtěleso tělesa   a matice   jsou definovány nad  , pak si jsou navzájem podobné nad  , právě když si jsou podobné jako matice nad  , protože Frobeniova normální forma nad   je také Frobeniova normální forma nad  .

V důsledku uvedeného je možné, aby k rozhodnutí, zdali si jsou dané matice nad tělesem   podobné, použít i jejich Jordanovy tvary, jejichž existence může být zaručena pouze nad vhodným nadtělesem  .

Pokud lze v definici podobnosti zvolit matici   jako permutační matici, pak si jsou   a   permutačně podobné. Jestliže lze   zvolit jako unitární matici, pak jsou   a   unitárně ekvivalentní. Podle spektrální věty je každá normální matice unitárně ekvivalentní vhodné diagonální matici.

Reference

editovat

V tomto článku byly použity překlady textů z článků Matrix similarity na anglické Wikipedii a Ähnlichkeit (Matrix) na německé Wikipedii.

Literatura

editovat
  • BEČVÁŘ, Jindřich. Lineární algebra. 1. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 436 s. ISBN 978-80-7378-392-1. 
  • HLADÍK, Milan. Lineární algebra (nejen) pro informatiky. 1. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 328 s. ISBN 978-80-7378-378-5. S. 39. 
  • OLŠÁK, Petr. Lineární algebra [online]. Praha: 2007 [cit. 2023-02-20]. Dostupné online. 
  • MOTL, Luboš; ZAHRADNÍK, Miloš. Pěstujeme lineární algebru [online]. [cit. 2023-02-20]. Dostupné online. 

Související články

editovat

Externí odkazy

editovat