Hermitovská transpozice

Matice hemitovsky sdružená [1] ke komplexní matici typu je matice typu získaná transpozicí a záměnou každého z čísel za komplexně sdružené číslo. Značí se [1], [2] nebo , a ve fyzice často . Nazývá se také hemitovská transpozice nebo komplexně sdružená transpozice.

Hermitovská transpozice reálných matice se shoduje s běžnou transpozicí .

Definice

editovat

Hermitovská transpozice matice   typu   je formálně definována   pro   a  , kde pruh značí komplexně sdružené číslo.

Tuto definici lze také napsat jako  , kde   označuje transpozici a   označuje matici s komplexně sdruženými prvky.

Hermitovská transpozice matice   může být značena některým z těchto symbolů:

  •  , běžně používaný v lineární algebře
  •  , běžně používaný v lineární algebře
  •  , běžně používané v kvantové mechanice
  •  , ačkoli tento symbol se běžněji používá pro Mooreovu–Penroseovu pseudoinverzi

Někdy   označuje matici pouze s komplexními sdruženými prvky a bez transpozice.

Ukázka

editovat

Hermitovskou transpozice následující matice   lze získat ve dvou krocích.

 

Nejprve je matice transponována:

 ,

a potom je každý její prvek zaměněn za své komplexně sdružené číslo:

 .

Poznámky

editovat

Čtvercová matice   se nazývá

  • Hermitovská nebo samosdružená pokud  .
  • Normální, pokud  .
  • Unitární pokud  , ekvivalentně  .

I když   není čtvercová, obě matice   a   jsou jak hermitovské, tak ve skutečnosti pozitivně semi-definitní.

Hermitovsky "sdružená" transpozice   se v komplexní analýze někdy nazývá adjungovaná matice, ale ta by neměla být zaměňována s adjungovanou maticí   z lineární algebry.

Hermitovská transpozice matice   se reálnými prvky redukuje na transpozici  , protože komplexně sdruženým číslem k reálnému číslu je číslo samotné.

Motivace

editovat

Zavedení hermitovské transpozice může být motivováno tím, že komplexní čísla mohou být reprezentována reálnými maticemi typu  , s obvyklým sčítáním a násobením matic:

 

Uvedené nahrazení libovolného komplexního čísla   reálnou maticí řádu 2 je lineární transformace na Argandově diagramu (nahlíženo jako na reálný vektorový prostor   ), ovlivněné komplexním   - násobením na   .

Každou komplexní matici typu   pak lze reprezentovat reálnou maticí  . Obyčejná transpozice této větší reálné matice odpovídá hermitovské transpozici původní komplexní matice.

Vlastnosti hermitovské transpozice

editovat

Rovnosti uvedené v následujících odstavcích platí, pokud mají výsledky operací smysl.

  •  .
  •   pro libovolné komplexní číslo  .
  •  .
  •   , tj. Hermitovská transpozice je involucí.
  • Je-li   čtvercová matice, pak  , kde   označuje determinant matice   .
  • Je-li   čtvercová matice, pak  , kde   označuje stopu matice   .
  •   je regulární právě když   je regulární a v tom případě   .
  • Vlastní čísla   jsou komplexně sdružená k vlastním číslům   .
  •   pro jakoukoli matici   typu  , libovolný vektor   a libovolný vektor   . Zde,   označuje standardní skalární součin na  , a podobně pro   .

Zobecnění

editovat

Poslední vlastnost uvedená výše ukazuje, že pokud pohlížíme na   jako na lineární transformaci z Hilbertova prostoru   na   pak matice   odpovídá sdruženému operátoru k   . Koncept sdružených operátorů mezi Hilbertovými prostory tak může být chápán jako zobecnění hermitovské transpozice matic vzhledem k ortonormální bázi.

Existuje další zobecnění: předpokládejme, že   je lineární zobrazení z komplexního vektorového prostoru   do  , pak lze definovat komplexně sdružené lineární zobrazení i transponované lineární zobrazení a můžeme tedy mít hermitovskou transpozici   jako komplexní sdružení transpozice   . Toto zobrazuje sdružený duál   na sdružený duál   .

Reference

editovat

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Conjugate transpose na anglické Wikipedii.

  1. a b ČSN EN ISO 80000-2 (011300). Veličiny a jednotky - Část 2: Matematika. Česká agentura pro standardizaci, 2020-11-01. detail.
  2. WEISSTEIN, Eric W. MathWorld--A Wolfram Web Resource [online]. [cit. 2023-02-28]. Kapitola "Conjugate Transpose.". Dostupné online. (anglicky) 

Literatura

editovat
  • BÄRTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce. Praha: Academia, 2006. 832 s. ISBN 80-200-1448-9. Kapitola Matice, s. 180–198. 
  • BEČVÁŘ, Jindřich. Lineární algebra. 1.. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 436 s. ISBN 978-80-7378-392-1. 
  • HLADÍK, Milan. Lineární algebra (nejen) pro informatiky. 1.. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 328 s. ISBN 978-80-7378-378-5. S. 39. 
  • OLŠÁK, Petr. Lineární algebra [online]. Praha: 2007 [cit. 2023-02-20]. Dostupné online. 
  • MOTL, Luboš; ZAHRADNÍK, Miloš. Pěstujeme lineární algebru [online]. [cit. 2023-02-20]. Dostupné online. 

Související články

editovat