Diagonální matice

V lineární algebře je diagonální matice čtvercová matice, ve které jsou všechny prvky mimo hlavní diagonálu nulové. Diagonální matice jsou určeny výhradně prvky na hlavní diagonále a tyto prvky mohou být i nulové.

U diagonálních matic se součin a inverze počítá snadněji než u obecných matic. Je-li lineární zobrazení reprezentováno na vektorovém prostoru konečné dimenze pomocí diagonální matice, pak vlastní čísla zobrazení jsou prvky na diagonále.

V geometrii lze diagonální matici použít jako matici škálování, protože příslušný součin vede ke změně měřítka ve směru jednotlivých os. Součin s tzv. skalární maticí vede k rovnoměrné změně měřítka.

Definice

Čtvercová matice ${\boldsymbol {D}}$ řádu $n$ nad tělesem $T$ (obvykle jde o těleso reálných čísel $\mathbb {R}$ )

{\boldsymbol {D}}={\begin{pmatrix}d_{11}&0&\cdots &0\\0&d_{22}&\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &0\\0&\cdots &0&d_{nn}\end{pmatrix}}

,

jejíž prvky $d_{ij}\in T$ s $i\neq j$ jsou všechny rovny nule, se nazývá diagonální matice. Často se zapisuje jako:

{\boldsymbol {D}}=\operatorname {diag} (d_{1},d_{2},\dotsc ,d_{n})={\begin{pmatrix}d_{1}&0&\cdots &0\\0&d_{2}&\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &0\\0&\cdots &0&d_{n}\end{pmatrix}}

.

Někdy se uvedený termín používá i pro obdélníkové matice, ale v tomto článku není toto zobecnění uvažováno.

Ukázky

Příkladem reálné diagonální matice řádu 3 je matice:

\operatorname {diag} (1,4,-3)={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&4&0\\0&0&-3\end{pmatrix}}

Speciální diagonální matice

Jednotková matice je diagonální matice, ve které mají všechny prvky na hlavní diagonále hodnotu 1. Formálně: $\mathbf {I} _{n}=\operatorname {diag} (1,1,\dots ,1)$ .
Čtvercová nulová matice je diagonální matice, ve které mají všechny prvky na hlavní diagonále hodnotu 0. Formálně: ${\boldsymbol {0}}=\operatorname {diag} (0,0,\dots ,0)$ .
Pokud se všechna čísla na hlavní diagonále diagonální matice shodují, označují se také jako skalární matice.^[1] Skalární matice jsou skalární násobky jednotkové matice $\alpha \mathbf {I} _{n}=\operatorname {diag} (\alpha ,\alpha ,\dots ,\alpha )$ . Množina nenulových skalárních matic je centrem obecné lineární grupy $GL_{n}(\mathbb {R} )$ .

Vlastnosti

Každá diagonální matice je symetrická, dolní trojúhelníková a horní trojúhelníková.

Příslušné diagonální matice tvoří komutativní podokruh okruhu čtvercových matic řádu $n$ .
Hodnost diagonální matice je rovna počtu nenulových prvků na diagonále.
Determinant diagonální matice je součin prvků na hlavní diagonále:
$\det \left(\operatorname {diag} \left(d_{1},d_{2},\dotsc ,d_{n}\right)\right)=d_{1}d_{2}\dotsm d_{n}=\prod _{i=1}^{n}d_{i}$
Adjungovaná matice k diagonální matice je opět diagonální.
Diagonální matice jsou symetrické, a proto se nemění transpozicí: ${\boldsymbol {D}}^{\mathrm {T} }={\boldsymbol {D}}$ .
Komplexní diagonální matice jsou normální. Pokud mají reálné prvky, jsou dokonce samoadjungované.

Aritmetické operace

Součet, skalární násobek a součin

Součet, skalární násobek a součin diagonálních matic jsou jednoduché operace:

Součet dvou diagonálních matic je diagonální a platí:

\operatorname {diag} (a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})+\operatorname {diag} (b_{1},b_{2}\dots ,b_{n})=\operatorname {diag} (a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2}\dots ,a_{n}+b_{n})={\begin{pmatrix}a_{1}+b_{1}&0&\cdots &0\\0&a_{2}+b_{2}&\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &0\\0&\cdots &0&a_{n}+b_{n}\end{pmatrix}}

Podobně pro skalární násobek diagonální matice a pro součin dvou diagonálních matic:

\alpha \operatorname {diag} (a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})=\operatorname {diag} (\alpha a_{1}b_{1},\alpha a_{2},\dots ,\alpha a_{n})={\begin{pmatrix}\alpha a_{1}&0&\cdots &0\\0&\alpha a_{2}&\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &0\\0&\cdots &0&\alpha a_{n}\end{pmatrix}}

\operatorname {diag} (a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})\cdot \operatorname {diag} (b_{1},b_{2},\dots ,b_{n})=\operatorname {diag} (a_{1}b_{1},a_{2}b_{2},\dots ,a_{n}b_{n})={\begin{pmatrix}a_{1}b_{1}&0&\cdots &0\\0&a_{2}b_{2}&\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &0\\0&\cdots &0&a_{n}b_{n}\end{pmatrix}}

Součin matice ${\boldsymbol {A}}$ typu $m\times n$ zleva s diagonální maticí řádu $m$ odpovídá vynásobení řádků ${\boldsymbol {A}}$ příslušnými prvky na diagonále:

{\boldsymbol {DA}}=\operatorname {diag} (d_{1},\dots ,d_{m}){\begin{pmatrix}a_{11}&\dots &a_{1n}\\\vdots &&\vdots \\a_{m1}&\dots &a_{mn}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}d_{1}\\&\ddots \\&&d_{m}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{11}&\dots &a_{1n}\\\vdots &&\vdots \\a_{m1}&\dots &a_{mn}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}d_{1}a_{11}&\dots &d_{1}a_{1n}\\\vdots &&\vdots \\d_{m}a_{m1}&\dots &d_{m}a_{mn}\end{pmatrix}}

Součin matice ${\boldsymbol {A}}$ typu $m\times n$ zprava s diagonální maticí řádu $n$ zprava odpovídá násobení sloupců ${\boldsymbol {A}}$ prvky na diagonále:

{\boldsymbol {AD}}={\begin{pmatrix}a_{11}&\dots &a_{1n}\\\vdots &&\vdots \\a_{m1}&\dots &a_{mn}\\\end{pmatrix}}\operatorname {diag} (d_{1},\dots ,d_{n})={\begin{pmatrix}a_{11}&\dots &a_{1n}\\\vdots &&\vdots \\a_{m1}&\dots &a_{mn}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}d_{1}\\&\ddots \\&&d_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}d_{1}a_{11}&\dots &d_{n}a_{1n}\\\vdots &&\vdots \\d_{1}a_{m1}&\dots &d_{n}a_{mn}\end{pmatrix}}

Regularita a inverzní matice

Diagonální matice je regulární právě když jsou všechny prvky na diagonále nenulové. Inverzní matice je pak dána předpisem:

\operatorname {diag} (d_{1},d_{2},\dots ,d_{n})^{-1}=\operatorname {diag} \left(d_{1}^{-1},d_{2}^{-1},\dots ,d_{n}^{-1}\right)

Pro pseudoinverzi jakékoli diagonální matice platí následující:

\operatorname {diag} (d_{1},d_{2},\dots ,d_{n})^{+}=\operatorname {diag} (d_{1}^{+},d_{2}^{+},\dots ,d_{n}^{+})

kde $d_{i}^{+}=d_{i}^{-1}$ pro $d_{i}\neq 0$ , a v ostatních případech $d_{i}^{+}=0$ . Při známém singulárním rozkladu lze pseudoinverzní ${\boldsymbol {A}}^{+}$ velmi efektivně vypočítat ze vztahu: ${\boldsymbol {A}}^{+}={\boldsymbol {V}}\Sigma ^{+}{\boldsymbol {U}}^{\mathrm {T} }$ .

Vlastní čísla a vlastní vektory

Vlastní čísla diagonální matice $\operatorname {diag} (d_{1},\dots ,d_{n})$ jsou $d_{1},\dots ,d_{n}$ , přičemž příslušné vlastní vektory ${\boldsymbol {e}}_{1},\dots ,{\boldsymbol {e}}_{n}$ tvoří standardní bázi prostoru $T^{n}$ .

Uvedený fakt vyplývá z výše uvedeného pravidla pro součin s diagonální maticí zleva, protože rovnice ${\boldsymbol {Ax}}=\lambda {\boldsymbol {x}}$ pro určení vlastních čísel a vektorů se bezprostředně redukuje na vztah ${\boldsymbol {D}}{\boldsymbol {e}}_{i}=d_{i}{\boldsymbol {e}}_{i}$ .

Aplikace

Diagonální matice se vyskytují v mnoha oblastech lineární algebry. Vzhledem k výše uvedenému jednoduchému popisu maticových operací a vlastních čísel a vlastních vektorů je obvykle vhodné nalézt reprezentaci např. lineárního zobrazení pomocí diagonální matice.

Čtvercová matice ${\boldsymbol {A}}$ řádu $n$ se nazývá diagonalizovatelná, je-li podobná diagonální matici ${\boldsymbol {D}}_{\boldsymbol {A}}$ , čili pokud existuje regulární matice ${\boldsymbol {S}}$ taková, že platí: ${\boldsymbol {D}}_{\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {S}}^{-1}{\boldsymbol {AS}}$ (ekvivalentně: ${\boldsymbol {SD}}_{\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {AS}}$ ). Lze dokázat, že matice řádu $n$ je diagonalizovatelná, právě když má $n$ lineárně nezávislých vlastních vektorů.

V tělese reálných nebo komplexních čísel lze navíc dokázat, že každá normální matice je unitárně podobná diagonální matici (pokud ${\boldsymbol {AA}}^{*}={\boldsymbol {A}}^{*}{\boldsymbol {A}}$ , pak existuje unitární matice ${\boldsymbol {U}}$ taková, že ${\boldsymbol {UAU}}^{*}$ je diagonální). Dále, ze singulárního rozkladu navíc vyplývá, že pro libovolnou matici ${\boldsymbol {A}}$ existují unitární matice ${\boldsymbol {U}}$ a ${\boldsymbol {V}}$ takové, že ${\boldsymbol {U}}^{*}{\boldsymbol {AV}}$ je nezáporná diagonální matice.

Odkazy

Reference

V tomto článku byly použity překlady textů z článků Diagonalmatrix na německé Wikipedii a Diagonal matrix na anglické Wikipedii.

↑ Uwe Storch, Hartmut Wiebe: Lehrbuch der Mathematik, Band 2: Lineare Algebra. BI-Wissenschafts-Verlag, Mannheim u. a. 1990, ISBN 3-411-14101-8.

Literatura

HLADÍK, Milan. Lineární algebra (nejen) pro informatiky. 1.. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 328 s. ISBN 978-80-7378-378-5. S. 39.
OLŠÁK, Petr. Lineární algebra [online]. Praha: 2007 [cit. 2023-02-20]. Dostupné online.

Související články

Antidiagonální matice
Bloková diagonální matice
Pásmová matice

[1] Uwe Storch, Hartmut Wiebe: Lehrbuch der Mathematik, Band 2: Lineare Algebra. BI-Wissenschafts-Verlag, Mannheim u. a. 1990, ISBN 3-411-14101-8.

[1]