Jednotková matice

V lineární algebře označuje pojem jednotková matice řádu $n$ čtvercovou matici $n\times n$, která má na hlavní diagonále jedničky a na ostatních místech nuly. Jednotková matice řádu $n$ se značí $\mathbf {I} _{n}$ nebo $\mathbf {E} _{n}$. Index je možné vynechat a psát jen $\mathbf {I}$ nebo $\mathbf {E}$, je-li velikost nepodstatná nebo lze-li ji odvodit z kontextu.$\mathbf {I} _{1}=\mathbf {E} _{1}={\begin{pmatrix}1\end{pmatrix}},\ \mathbf {I} _{2}=\mathbf {E} _{2}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\ \mathbf {I} _{3}=\mathbf {E} _{3}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}},\ \cdots ,\ \mathbf {I} _{n}=\mathbf {E} _{n}={\begin{pmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &0\\0&\cdots &0&1\end{pmatrix}}$

Vlastnosti

Jednotková matice je neutrálním prvkem vzhledem k součinu matic, tj. platí ${\boldsymbol {A}}\mathbf {I} ={\boldsymbol {A}}$ a $\mathbf {I} {\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {A}}$, kdykoli je příslušný součin matic definován.

Jednotková matice je regulární, protože je inverzní sama k sobě. Zároveň je symetrická i ortogonální. Nemění se umocňováním. Její odmocnina (tj. matice ${\boldsymbol {A}}$ splňující ${\boldsymbol {A}}^{2}=\mathbf {I}$) není jednoznačná. Odmocninou může být opět jednotková matice, ovšem existují také odmocniny nediagonální, např.${\textstyle {\begin{pmatrix}4/5&3/5\\3/5&-4/5\\\end{pmatrix}}}$ i nesymetrické.

Jednotková matice je speciálním případem diagonální matice.

Poznámky ke značení

Symbol ${\textstyle \mathbf {I} }$ pochází z angl. Identity matrix, doslova matice identity, coby identického zobrazení $\mathrm {id}$.

Naopak symbol ${\textstyle \mathbf {E} }$ má patrně původ v něm. Einheitsmatrix , což také souvisí s obvyklým značením neutrálního prvku v grupě symbolem $e$. Sloupce jednotkové matice tvoří vektory standardní báze, které bývají často označovány ${\textstyle \mathbf {e} _{1},\dots ,\mathbf {e} _{n}}$.

Řídce bývají používány symboly ${\textstyle \mathbf {U} }$ a ${\textstyle {\boldsymbol {1}}}$ a jejich typografické varianty.

Coby dobře definovanou matematickou konstantu je možné vídat symbol jednotkové matice psán neskloněným písmem (antikvou), tedy ${\textstyle \mathbf {I} }$, resp. ${\textstyle \mathbf {E} }$, pro odlišení od skloněných symbolů užívaných pro proměnné matice ${\textstyle {\boldsymbol {A}}}$.

Odkazy

Literatura

• Slovník školské matematiky. Praha: SPN, 1981. 240 s. 

• BÄRTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce. Praha: Academia, 2006. 832 s. ISBN 80-200-1448-9. Kapitola Matice, s. 180–198. 

• BEČVÁŘ, Jindřich. Lineární algebra. 1.. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 436 s. ISBN 978-80-7378-392-1. 
• HLADÍK, Milan. Lineární algebra (nejen) pro informatiky. 1.. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 328 s. ISBN 978-80-7378-378-5. S. 39. 

• OLŠÁK, Petr. Lineární algebra [online]. Praha: 2007 [cit. 2023-02-20]. Dostupné online. 

Portály: Matematika