Určitý integrál

obsah plochy mezi křivkou grafu nějaké funkce a osou x mezi dvěma zadanými body

Určitý integrál je matematický nástroj, který umožňuje určit změnu funkce na základě informace o tom, jak rychle se funkce mění na daném intervalu. Určitý integrál nezáporné funkce má názornou geometrickou interpretaci, jedná se o obsah plochy pod grafem této funkce na uvažovaném intervalu.

Určitý integrál souvisí s obsahem plochy pod grafem funkce.

Z formálního hlediska je vstupními údaji určitého integrálu funkce a dvě čísla (integrační meze) a výstupem je číslo (hodnota integrálu). Tím se liší od neurčitého integrálu, který má na vstupu funkci a výstupem je množina funkcí lišících se o aditivní konstantu.

Určitý integrál má mnoho aplikací v teorii pravděpodobnosti, funkcionální analýze, fyzice, např. častou fyzikální aplikací je určení dráhy tělesa ze známé rychlosti.

Definice

editovat

Existují různé definice určitého integrálu podle formulace integrálních součtů, tyto definice se liší množinou funkcí, které jsou podle nich integrovatelné (pokud je pro několik definicí funkce integrovatelná, pak je hodnota integrálu stejná), tj. existují různé určité integrály:

Newtonův integrál

editovat
Související informace naleznete také v článku Newtonův integrál.

Pokud je funkce   spojitá na intervalu   a funkce   je k ní na tomto intervalu primitivní, pak platí:

 .

Zobecněný Newtonův integrál

editovat

Newtonova definice určitého integrálu požaduje spojitost funkce na daném intervalu. Pokud je funkce na intervalu pouze po částech spojitá, lze interval v bodech nespojitosti rozdělit a hledat primitivní funkce po částech. Pro tento případ se definuje takzvaný „zobecněný Newtonův integrál“, který je v případě nespojitosti primitivní funkce v krajních bodech definován jako rozdíl jednostranných krajních limit:

 .

Riemannův integrál

editovat
Související informace naleznete také v článku Riemannův integrál.

Řekneme, že po částech spojitá funkce   na intervalu   má Riemannův integrál  , pokud pro každé   existuje   takové, že pro každé dělení body   intervalu   platí, že:

 , tj.  ,

kde   je Riemannova suma a   resp.   je norma dělení   resp. množina bodů zapouzdřených v dělení  .

Lebesgueův integrál

editovat
Související informace naleznete také v článku Lebesgueův integrál.

Na základě Lebesgueovy míry definoval Henri Lebesgue tzv. Lebesgueův integrál. Má podobnou definici jako Darbouxova definice Riemannova integrálu, ale třída integrovatelných funkcí je v něm mnohem širší – dokonce se bez axiomu výběru nedá prokázat, že existuje funkce, která není Lebesgueovsky integrovatelná. Podobný postup použili i další matematici. Lebesgueův integrál a další, ještě pokročilejší integrály, umožňují integrovat širší třídy funkcí, platí pro ně silnější verze mnoha tvrzení a skýtají i mnoho jiných výhod. Patří mezi ně například Stieltjesův integrál nebo Kurzweilův integrál.

Nechť   je prostor s mírou, pak pro měřitelnou funkci   definujeme horní Lebesgueův integrál:

 ,

kde   je  -algebra na  ,   jsou měřitelné množiny a  , při   pro každé   a   pro každé  .

Nechť   je prostor s mírou, pak pro měřitelnou funkci   definujeme dolní Lebesgueův integrál:

 ,

kde   je  -algebra na  ,   jsou měřitelné množiny a  , při   pro každé   a   pro každé  .

Lebesgueův integrál pak definujeme pro funkci   splňující rovnost horního a dolního Lebesgueova integrálu jako:

 .

pozn.: Množina   je množina   rozšířená o   a množina   může být např. Euklidovský prostor  .

Lebesgueův integrál lze přibližně interpretovat jako nekonečný součet nekonečně úzkých pásů o "šířce" dané koeficientem   a délce dané mírou množiny   přes všechna  .

Vlastnosti

editovat

Pro některé funkce integrál nemusí existovat (například Newtonův nebo Riemannův integrál z Dirichletovy funkce), nebo může být nekonečný, např.:

 .

Záměna sumy a integrálu

editovat

Je-li dána řada funkcí   spojitých na intervalu   a pokud suma   konverguje stejnoměrně, pak lze zaměnit sumu s integrálem:

 .

Záměna limity a integrálu

editovat

Je-li   funkce spojitá na příslušných definičních oborech   a pokud má integrovatelnou majorantu   takovou, že   pro dané hodnoty parametru  , pak pro   lze zaměnit limitu s integrálem:

 .

Zobecnění

editovat

Nevlastní integrál

editovat
Podrobnější informace naleznete v článku Nevlastní integrál.

Křivkový integrál

editovat
Podrobnější informace naleznete v článku Křivkový integrál.

Křivkový integrál je integrál skalárního nebo vektorového pole počítaný podél křivky.

Plošný integrál

editovat
Podrobnější informace naleznete v článku Plošný integrál.

Plošný integrál je integrál skalárního nebo vektorového pole počítaný podél křivky ohraničující nějakou plochu.

Vícerozměrný integrál

editovat

Integraci funkce více proměnných probíhá vždy na určité oblasti  . Je-li   funkcí   nezávisle proměnných, pak její integrál na určité  -rozměrné oblasti   označujeme jako  -rozměrný integrál, přičemž jej zapíšeme některým z následujících způsobů:

 .

Počet integračních znaků   odpovídá počtu proměnných, přes které integrujeme. Je-li ze zápisu integrálu zjevné, že se jedná o vícerozměrný integrál, pak zapisujeme pouze jeden integrační znak:

 .

Vícerozměrné integrály se obvykle řeší převodem na vícenásobnou integraci pomocí Fubiniovy věty. Mezi vícerozměrné integrály řadíme např. plošný a objemový integrál.

Komplexní integrál

editovat

V komplexní rovině se užívají křivkové integrály. Pokud tyto integrály probíhají po uzavřené křivce ležící v komplexní rovině, lze je vypočítat pomocí reziduové věty, Cauchyova vzorce nebo Cauchyovy věty.

Aplikace

editovat
Související informace naleznete také v článku Aplikace integrálu.

Plocha pod křivkou

editovat
 
Integrál jako plocha pod křivkou.

Určitý integrál nezáporné spojité funkce   na intervalu   je roven ploše obrazce omezeného přímkami  ,  , osou   a křivkou definovanou grafem funkce  . Formálněji řečeno, takový integrál je roven míře množiny   definované jako:

 

Je-li funkce někde záporná, plocha nad křivkou se počítá záporně.

Fyzikální význam

editovat

Určitý integrál se využívá v řadě fyzikálních definic – například určitý integrál síly podle polohy je vykonaná práce, určitý integrál ze zrychlení je změna rychlosti, objemový integrál z hustoty je hmotnost tělesa apod.

Příklad

editovat

Určitý integrál z rychlosti podle času je roven změně polohy během časového úseku od   do  . Pokud polohu v závislosti na čase označíme  , platí:

 , tento vzorec je zobecněním známého vztahu pro pohyb konstantní rychlostí:
  neboli  , vzorce se liší v tom, že první vzorec lze použít i pro pohyb proměnlivou rychlostí.

Literatura

editovat

Související články

editovat

Externí odkazy

editovat