Lebesgueův integrál

Lebesgueův integrál označuje v matematice definici určitého integrálu, založenou na teorii míry, který na základě Lebesgueovy míry definoval Henri Lebesgue. Má podobnou definici jako Darbouxova definice Riemannova integrálu, ale třída integrovatelných funkcí je v něm mnohem širší – dokonce se bez axiomu výběru nedá prokázat, že existuje funkce, která není Lebesgueovsky integrovatelná. Lebesgueův integrál je obecnější než integrál Riemannův, což v praxi znamená, že pokud existuje Riemannův integrál, tak existuje také Lebesgueův integrál, přičemž hodnoty obou integrálů jsou shodné. Pokud Riemannův integrál neexistuje, může existovat integrál Lebesgueův. Opačné tvrzení však neplatí (např. Dirichletova funkce, jejíž funkční hodnota je rovna jedné, pokud je argument racionální číslo, a je rovna nule, pokud je argumentem iracionální číslo, má Lebesgueův integrál, ale nemá Riemannův integrál).

j-tý element Lebesgueova integrálu

Definice

editovat

Nechť   je prostor s mírou, pak pro měřitelnou funkci   definujeme horní Lebesgueův integrál:

 ,

kde   je  -algebra na  ,   jsou měřitelné množiny a  , při   pro každé   a   pro každé  .

Nechť   je prostor s mírou, pak pro měřitelnou funkci   definujeme dolní Lebesgueův integrál:

 ,

kde   je  -algebra na  ,   jsou měřitelné množiny a  , při   pro každé   a   pro každé  .

Lebesgueův integrál pak definujeme pro funkci   splňující rovnost horního a dolního Lebesgueova integrálu jako:

 .

pozn.: Množina   je množina   rozšířená o   a množina   může být např. Euklidovský prostor  .

Lebesgueův integrál lze přibližně interpretovat jako nekonečný součet nekonečně úzkých pásů o "šířce" dané koeficientem   a délce dané mírou množiny   přes všechna  .

Vlastnosti

editovat
  • Pro obecnou měřitelnou funkci definujeme:
 ,

kde   je nezáporná část funkce   a   je záporná část funkce  .

  • Každá měřitelná nezáporná funkce má Lebesgueův integrál. Obecná měřitelná funkce   integrál nemá tehdy, když:
 .
  • Pro jednoduchou funkci   je možné napsat definiční vztah jako:
 .

Jednoduchou funkci je však možné vyjádřit pomocí různých rozkladů. Z takové definice tedy není zřejmé, že hodnota integrálu jednoduché funkce nezávisí na rozkladu.

Měřitelná funkce

editovat
Podrobnější informace naleznete v článku Měřitelná funkce.

Nechť   a   jsou měřitelné prostory. O funkci   řekneme, že je měřitelná, jestliže pro každé   dostaneme:

 .

Měřitelnost tedy závisí na sigma algebrách   a  , tj. měřitelnou funkci   obvykle píšeme jako  .

prostory

editovat
Podrobnější informace naleznete v článku Lp prostor.

Pomocí Lebesgueova integrálu definujeme   prostory měřitelných funkcí  :

 

a zavedeme množinovou funkci

 .

Snadno se ukáže, že   splňuje všechny vlastnosti normy kromě jedné:   neznamená   všude v  , ale pouze skoro všude v  . Tvrzení tedy neplatí na množině míry  . Zavádí se proto prostory   tříd ekvivalencí funkcí, které se liší na množině míry  . V takovém prostoru je již   normou.

Externí odkazy

editovat