Reziduum (matematika)

Vyjádříme-li meromorfní funkci v okolí jejího izolovaného singulárního bodu Laurentovou řadou (pro ), pak číslo se nazývá reziduum funkce v bodě .

Na základě vyjádření koeficientů Laurentova rozvoje získáme

Reziduová věta

editovat

Mějme jednoduchou konečnou po částech hladkou uzavřenou křivku  , která je kladně orientovaná vzhledem ke svému vnitřku  . Uvažujme funkci  , která je v   holomorfní s výjimkou konečného počtu singulárních bodů   a s výjimkou těchto bodů spojitá v  . Pak integrál

 

je roven součtu reziduí funkce   v bodech  , tzn.

 ,

kde   označuje reziduum funkce   v bodě  .

Výpočet reziduí

editovat

Má-li meromorfní funkce f definovaná alespoň na okolí D = {z: 0 < |z-c| < R, R > 0} v bodě c pól prvního řádu, potom je reziduum určeno jako:

 

nebo přímo použitím reziduové věty

 

kde kladně orientovaná křivka γ tvoří kruh kolem c o poloměru ε, kde ε je libovolně malé.

Reziduum funkce f(z)=g(z)/h(z) mající v c pól prvního řádu, kde g a h jsou holomorfní funkce v okolí c a zároveň h(c) = 0, g(c) ≠ 0, je dáno jako

 

Obecněji je reziduum funkce f v bodě z = c mající v c pól řádu n vyjádřeno jako:

 

Může-li být f holomorfně rozšířena na celý disk { z : |zc| < R }, potom Res[f]z=c = 0. Opačné tvrzení obecně neplatí.

Související články

editovat