Měřitelný prostor

neprázdná množina spolu se σ-algebrou na této množině

Měřitelný prostor neboli borelovský prostor je v matematice základní objekt teorie míry.[1] Sestává z libovolné neprázdné množiny a tzv. sigma-algebry na této množině. Měřitelný prostor poskytuje informace o tom, které množiny (podmnožiny neprázdné množiny) lze měřit. Měřitelný prostor určuje, které podmnožiny neprázdné množiny jsou měřitelné, ale na rozdíl od prostoru s mírou nedefinuje žádnou konkrétní míru.

Definice

editovat

Měřitelný prostor je uspořádaná dvojice  , kde[2]

  •   je neprázdná množina,
  •   je  -algebra na množině  .

Příklad

editovat

Uvažujme množinu  , pak jedna z možných  -algeber je

  a   je měřitelný prostor,

další možnou  -algebrou je potenční množina množiny  , tj.:

  a   je jiný měřitelný prostor.

Měřitelné prostory

editovat
  • Pokud   je konečná nebo spočetná množina, pak potenční množina množiny   je  -algebrou, tj.  . Měřitelný prostor je pak  .
  • Pokud   je topologický prostor, pak  -algebra může být borelovská množina  , tj.  . Měřitelný prostor je pak  , obvyklý pro všechny topologické prostory včetně množiny reálných čísel  .

Borelovské prostory

editovat

Termín borelovský prostor se používá pro různé typy měřitelných prostorů, může znamenat:

  • jakýkoli měřitelný prostor, tj. být synonymem pro měřitelný prostor jak je definovaný výše[1],
  • měřitelný prostor, který je borelovsky izomorfní s nějakou měřitelnou podmnožinou reálných čísel, která je borelovskou  -algebrou[3].

Reference

editovat

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Measurable space na anglické Wikipedii.

  1. a b SAZONOV, V. V. Měřitelný prostor. [s.l.]: Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers Dostupné online. ISBN 978-1-55608-010-4. 
  2. KLENKE, Achim. Probability Theory. Berlín: Springer, 2008. ISBN 978-1-84800-047-6. DOI 10.1007/978-1-84800-048-3. 
  3. KALLENBERG, Olav. Random Measures, Theory and Applications. Svazek 77. Švýcarsko: Springer, 2017. (Probability Theory and Stochastic Modelling). ISBN 978-3-319-41596-3. DOI 10.1007/978-3-319-41598-7. 

Související články

editovat