Prostor s mírou

měřitelný prostor spolu s konkrétní definovanou mírou na tomto prostoru

Prostor s mírou je neprázdná množina, ve které chceme měřit délky, obsahy, objemy, případně kvantity, s mírou, jakožto funkcí, která jejím podmnožinám přiřazuje jejich „velikost“. Prostory s mírou jsou základním předmětem zájmu teorie míry, což je odvětví matematiky, které se zabývá zobecněním pojmu objemu.

Na teorii míry je vystavěna moderní[Pozn 1] teorie integrálu a využívá ji i jeden ze dvou hlavních přístupů k teorii pravděpodobnosti vycházející z pojmu pravděpodobnostní prostor, což je prostor s mírou, která výsledkům náhodného pokusu přiřazuje jejich pravděpodobnosti.

Požadavek na měřitelnost všech podmnožin libovolné množiny může vést[Pozn 2] k Banachově-Tarského paradoxu[1], proto se používá složitější definice, v níž není vyžadováno, aby všechny podmnožiny byly měřitelné. Podle této definice je prostor s mírou tvořen třemi složkami:

  • množinou , jejíž části chceme měřit,
  • souborem všech měřitelných podmnožin množiny ,
  • funkcí přiřazující každé měřitelné množině její „velikost“ – nějakou nezápornou hodnotu, která může být i nekonečná.

Definice

editovat

Prostor s mírou je uspořádaná trojice  , kde[2][3]

  •   je neprázdná množina,
  •   je  -algebra na množině  ,
  •   je míra na  .

Jednoduše lze říci, že prostor s mírou je měřitelný prostor s mírou na  .

Příklad

editovat

Uvažujme množinu  . Na konečných množinách bývá  -algebra obvykle celá potenční množina značená  . Nechť

 ,

pak lze potenční množinu vypsat výčtem prvků:

 

a míru   definujeme jako:

 ,

takže   (díky aditivitě míry) a   (z definice míry).

Tím dostaneme prostor s mírou  . Tento prostor je pravděpodobnostním prostorem, protože  . Míra   odpovídá alternativnímu (Bernoulliho) rozdělení s   které se používá například jako model házení poctivou mincí.

Prostory s mírou

editovat
  • Konečně měřitelné prostory jsou prostory vybavené konečnou mírou.
  • Pravděpodobnostní prostory jsou konečně měřitelné prostory vybavené pravděpodobnostní mírou, tj. mírou, která množině   přiřazuje míru  .
  •  -konečně měřitelné prostory jsou prostory, jejichž míra je  -konečná.[4]
  • Úplně měřitelné prostory jsou prostory vybavené úplnou mírou.[5]

Poznámky

editovat
  1. „Moderní“ v tomto případě znamená vytvořená na začátku 20. století.
  2. Pokud předpokládáme platnost axiomu výběru.

Reference

editovat

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Measure space na anglické Wikipedii.

  1. TAO, Terence. An introduction to measure theory. Los Angeles: [s.n.], 2011. 267 s. Dostupné v archivu pořízeném dne 2015-05-26. S. 3. (anglicky)  Archivováno 26. 5. 2015 na Wayback Machine.
  2. KOSOROK, Michael R. Introduction to Empirical Processes and Semiparametric Inference. New York: Springer, 2008. ISBN 978-0-387-74977-8. S. 83. (anglicky) 
  3. KLENKE, Achim. Probability Theory. Berlin: Springer, 2008. Dostupné online. ISBN 978-1-84800-047-6. DOI 10.1007/978-1-84800-048-3. S. 18. (anglicky) 
  4. ANOSOV, D.V. Encyclopedia of Mathematics [online]. EMS Press, 2010 [cit. 2020-12-14]. Kapitola Measure space. Dostupné online. (anglicky) 
  5. KLENKE, Achim. Probability Theory. Berlin: Springer, 2008. Dostupné online. ISBN 978-1-84800-047-6. DOI 10.1007/978-1-84800-048-3. S. 33. (anglicky) 

Související články

editovat