Zobecněná Stokesova věta

Zobecněná Stokesova věta[1] je v diferenciální geometrii tvrzení o integraci diferenciálních forem, které zobecňuje a zahrnuje několik vět. Je pojmenovaná po Georgi Gabrielu Stokesovi, ačkoliv poprvé tuto větu pravděpodobně zformuloval William Thomson.

Znění věty

editovat

Buď   varieta dimenze   v prostoru dimenze   s okrajem   s kladnou orientací a buď   diferenciální forma na   rozměru  , pak platí:

 ,

kde   je vnější derivace diferenciální formy, pak:

Odvození Gaussovy věty

editovat

Uvažuje se Gaussova věta ve trojrozměrném euklidovském prostoru. Množinou M tedy budeme v tomto případě rozumět daný objem a ∂M plochu, která jej uzavírá. Vyjdeme z toho, že máme po ploše ∂M integrovat tok vektorového pole:

 

Forma dS má v kartézských složkách poměrně jednoduchý tvar (dy^dz,dz^dx,dx^dy) - je snadné zjistit, že první složka této formy musí být element plochy, ke kterému je vektor (1,0,0) kolmý.   je vnější součin forem. Pořadí forem dy,dz určujících plochu je libovolné. Zbylé souřadnice se určí cyklickou záměnou, aby nedošlo ke změně orientace diferenciální formy (pokud by za plošku kolmou k (1,0,0) byla zvolena naopak dz^dy, pak pokud ostatní složky budou určeny cyklickou záměnou, výsledek bude stejný). Nyní zderivujme integrovanou formu, v jejích členech jsou vždy derivace podle dvou souřadnic nulové, takže zbývá vždy jedna:

 
 
 

Jakmile jsou souřadnicové formy ve správném pořadí, tak lze převést integrál formy na běžný integrál přes objem:

 ,

je tedy vidět, že nám vyšla právě Gaussova věta.

Odvození Stokesovy věty

editovat

Uvažuje se Stokesova věta ve trojrozměrném euklidovském prostoru. Množinou Σ tedy budeme v tomto případě rozumět danou plochu a ∂Σ křivku, která ji uzavírá, obdobným postupem jako u odvození Gaussovy věty tedy dostaneme:

 
 

Provede se vnější derivace na jednotlivých formách:

  

Protože vnější součin je na 1-formách antisymetrický, posbírá se integrál podle jednotlivých 2-forem:

  

Jsou-li jednotlivé formy ve správném pořadí podle indexů, dostáváme Stokesovu větu:

 

Reference

editovat

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Generalized Stokes theorem na anglické Wikipedii.

  1. SPIVAK, Michael. Calculus on manifolds : a modern approach to classical theorems of advanced calculus. New York: [s.n.], 1965. Dostupné online. ISBN 0-8053-9021-9. OCLC 187146 

Související články

editovat

Externí odkazy

editovat