Greenova věta[1] je věta diferenciální geometrie, která popisuje vztah mezi křivkovým integrálem druhého druhu vektorového pole v rovině přes hladkou uzavřenou orientovanou křivku a plošným integrálem rotace vektorového pole přes plochu křivkou uzavřenou. Tato věta je speciálním případem tzv. Stokesovy věty. Autorem Greenovy věty je George Green.

Znění věty

editovat
 
D je oblast ohraničená křivkami C1, C2, C3, C4.

Je-li   vektorové pole se spojitými parciálními derivacemi prvního řádu na jednoduše souvislé ploše   ohraničené po částech hladkou jednoduchou uzavřenou kladně orientovanou křivkou  , pak platí:

 .

Výpočet obsahu

editovat

Greenovu větu je možno využít k výpočtu obsahu plochy v rovině. Zvolme funkce   a   tak,
že platí  , potom je obsah (míra) oblasti   ohraničené hranicí   dán vztahem:

 , neboť (viz volba výše):
 , tj.:
  a  , z čehož plyne:   a  .

Reference

editovat

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Green's theorem na anglické Wikipedii.

  1. George Green, An Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and Magnetism (Nottingham, England: T. Wheelhouse, 1828)

Související články

editovat

Externí odkazy

editovat