Předpokládejme, že máme funkcionál
S
:
C
→
R
{\displaystyle {\mathcal {S}}:{\mathcal {C}}\rightarrow \mathbb {R} }
nazývaný akce , kde
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
je konfigurační prostor závisející obecně na všech veličinách
ϕ
A
(
x
)
{\displaystyle \phi _{A}(x)\,}
, kterými popisujeme daný systém. (Multiindex A tyto veličiny čísluje.)
Předpokládejme dále, že akci můžeme vyjádřit v obvyklém tvaru, jako integrál hustoty lagrangiánu
L
(
x
,
ϕ
A
(
x
)
,
∂
μ
ϕ
A
(
x
)
)
{\displaystyle {\mathcal {L}}(x,\phi _{A}(x),\partial _{\mu }\phi _{A}(x))}
přes celý prostor
S
[
ϕ
A
]
=
∫
M
d
n
x
L
(
x
,
ϕ
A
(
x
)
,
∂
μ
ϕ
A
(
x
)
)
.
{\displaystyle {\mathcal {S}}[\phi _{A}]\,=\,\int _{M}\mathrm {d} ^{n}x\,{\mathcal {L}}(x,\phi _{A}(x),\partial _{\mu }\phi _{A}(x)).}
(Přitom předpokládáme, že lagrangián závisí jen na prvních derivacích zkoumaných proměnných. Pro vyšší derivace je zobecnění přímočaré.) Podle principu stacionární akce platí
δ
S
[
ϕ
A
]
δ
ϕ
A
=
0
,
{\displaystyle {\frac {\delta {\mathcal {S}}[\phi _{A}]}{\delta \phi _{A}}}\,=\,0,}
a to tak, že na okraji M jsou veličiny
δ
ϕ
{\displaystyle \delta \phi \,}
nulové. (Jde o úlohu s pevnými okraji.) Provedením variace
δ
S
[
ϕ
]
=
∫
M
d
n
x
∂
L
∂
ϕ
A
δ
ϕ
A
+
∂
L
∂
(
∂
μ
ϕ
A
)
δ
(
∂
μ
ϕ
A
)
=
∫
M
d
n
x
∂
L
∂
ϕ
A
δ
ϕ
A
−
∂
μ
(
∂
L
∂
(
∂
μ
ϕ
A
)
)
δ
ϕ
A
=
∫
M
d
n
x
L
∗
δ
ϕ
A
,
{\displaystyle \delta {\mathcal {S}}[\phi ]\,=\,\int _{M}\mathrm {d} ^{n}x\,{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi _{A}}}\delta \phi _{A}+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{A})}}\delta (\partial _{\mu }\phi _{A})=\,\int _{M}\mathrm {d} ^{n}x\,{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi _{A}}}\delta \phi _{A}-\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{A})}}\right)\delta \phi _{A}=\,\int _{M}\mathrm {d} ^{n}x\,{\mathcal {L}}^{*}\delta \phi _{A},}
kde
L
∗
≡
∂
L
∂
ϕ
A
−
∂
μ
(
∂
L
∂
(
∂
μ
ϕ
A
)
)
.
{\displaystyle {\mathcal {L}}^{*}\equiv {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi _{A}}}-\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{A})}}\right).}
Protože
ϕ
A
{\displaystyle \phi _{A}\,}
jsou na M libovolné, musí platit
L
∗
=
0
,
{\displaystyle {\mathcal {L}}^{*}=0,}
což jsou rovnice popisující daný systém.
Nyní mějme spojitou k -parametrickou transformaci souřadnic
x
μ
→
x
′
μ
=
x
μ
−
ε
i
ξ
i
μ
(
x
)
=
x
μ
+
δ
x
μ
,
{\displaystyle x^{\mu }\to x'^{\mu }=x^{\mu }-\varepsilon ^{i}\xi _{i}^{\mu }(x)=x^{\mu }+\delta x^{\mu },}
vůči které jsou fyzikální zákony invariantní.
ξ
i
(
x
)
{\displaystyle \xi _{i}(x)}
jsou obecně libovolné diferencovatelné funkce ,
ε
i
{\displaystyle \varepsilon ^{i}}
jsou infinitezimální parametry, které generují příslušnou Lieovu grupu symetrií a i probíhá hodnoty 1..k . Tato transformace indukuje transformaci zkoumaných veličin
S
→
S
′
.
{\displaystyle {\mathcal {S}}\to {\mathcal {S}}'.}
L
(
x
,
ϕ
A
,
∂
μ
ϕ
A
)
→
L
′
(
x
′
,
ϕ
A
′
,
∂
μ
ϕ
A
′
)
,
{\displaystyle {\mathcal {L}}(x,\phi _{A},\partial _{\mu }\phi _{A})\to {\mathcal {L}}'(x',\phi '_{A},\partial _{\mu }\phi '_{A}),}
ϕ
A
(
x
)
→
ϕ
A
′
(
x
′
)
=
ϕ
A
+
δ
ϕ
A
.
{\displaystyle \phi _{A}(x)\to \phi '_{A}(x')=\phi _{A}+\delta \phi _{A}.}
Protože se při ní (z předpokladů věty) nemění tvar pohybových rovnic , platí
L
(
x
,
ϕ
A
,
∂
μ
ϕ
A
)
=
L
′
(
x
′
,
ϕ
A
′
,
∂
μ
ϕ
A
′
)
,
{\displaystyle {\mathcal {L}}(x,\phi _{A},\partial _{\mu }\phi _{A})={\mathcal {L}}'(x',\phi '_{A},\partial _{\mu }\phi '_{A}),}
takže pro akci systému platí
S
′
[
ϕ
]
=
S
[
ϕ
]
⟹
∫
M
′
d
n
x
′
L
′
(
x
′
,
ϕ
A
′
,
∂
μ
ϕ
A
′
)
=
∫
M
d
n
x
L
(
x
,
ϕ
A
,
∂
μ
ϕ
A
)
.
(
♠
)
{\displaystyle {\mathcal {S'}}[\phi ]\,=\,{\mathcal {S}}[\phi ]\implies \,\int _{M'}\mathrm {d} ^{n}x'\,{\mathcal {L'}}(x',\phi '_{A},\partial _{\mu }\phi '_{A})\,=\,\int _{M}\mathrm {d} ^{n}x\,{\mathcal {L}}(x,\phi _{A},\partial _{\mu }\phi _{A}).\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(\spadesuit )}
Protože transformace symetrie je infinitezimální , můžeme nahradit integrování přes M' v souřadnicích x' integrováním přes M v souřadnicích x , pokud při tom zároveň přičteme povrchový člen, o který se liší na hranici M . Ten vypočteme jako plošný integrál hustoty lagrangiánu krát skalární součin normály hranice s
δ
x
μ
{\displaystyle \delta x^{\mu }}
.
∫
M
′
d
n
x
′
L
′
(
x
′
,
ϕ
A
′
,
∂
μ
ϕ
A
′
)
=
∫
M
d
n
x
L
(
x
,
ϕ
A
′
,
∂
μ
ϕ
A
′
)
+
∫
∂
M
d
S
L
(
x
,
ϕ
A
′
,
∂
μ
ϕ
A
′
)
δ
x
μ
n
μ
,
{\displaystyle \int _{M'}\mathrm {d} ^{n}x'\,{\mathcal {L'}}(x',\phi '_{A},\partial _{\mu }\phi '_{A})\,=\,\int _{M}\mathrm {d} ^{n}x\,{\mathcal {L}}(x,\phi '_{A},\partial _{\mu }\phi '_{A})\,+\int _{\partial M}\mathrm {d} S\,{\mathcal {L}}(x,\phi '_{A},\partial _{\mu }\phi '_{A})\delta x^{\mu }n_{\mu },}
což dále upravíme podle Gaussovy věty a pro hraniční členy dosadíme
ϕ
′
=
ϕ
{\displaystyle \phi '=\phi \,}
, (variace na hranici je nulová,) čímž obdržíme tvar
∫
M
′
d
n
x
′
L
′
(
x
′
,
ϕ
A
′
,
∂
μ
ϕ
A
′
)
=
∫
M
d
n
x
L
(
x
,
ϕ
A
′
,
∂
μ
ϕ
A
′
)
−
∂
μ
(
L
(
x
,
ϕ
A
,
∂
μ
ϕ
A
)
ε
i
ξ
i
μ
(
x
)
)
.
{\displaystyle \int _{M'}\mathrm {d} ^{n}x'\,{\mathcal {L'}}(x',\phi '_{A},\partial _{\mu }\phi '_{A})\,=\,\int _{M}\mathrm {d} ^{n}x\,{\mathcal {L}}(x,\phi '_{A},\partial _{\mu }\phi '_{A})\,-\,\partial _{\mu }\left({\mathcal {L}}(x,\phi _{A},\partial _{\mu }\phi _{A})\varepsilon ^{i}\xi _{i}^{\mu }(x)\right).}
Dosadíme-li tento tvar do rovnice (♠), obdržíme tvar
0
=
∫
M
d
n
x
L
(
x
,
ϕ
A
′
,
∂
μ
ϕ
A
′
)
−
L
(
x
,
ϕ
A
,
∂
μ
ϕ
A
)
−
∂
μ
(
L
(
x
,
ϕ
A
,
∂
μ
ϕ
A
)
ε
i
ξ
i
μ
(
x
)
)
,
{\displaystyle 0=\int _{M}\mathrm {d} ^{n}x\,{\mathcal {L}}(x,\phi '_{A},\partial _{\mu }\phi '_{A})\,-\,{\mathcal {L}}(x,\phi _{A},\partial _{\mu }\phi _{A})\,-\,\partial _{\mu }\left({\mathcal {L}}(x,\phi _{A},\partial _{\mu }\phi _{A})\varepsilon ^{i}\xi _{i}^{\mu }(x)\right),}
což přepíšeme jako
0
=
∫
M
d
n
x
L
(
x
,
ϕ
A
+
δ
¯
ϕ
A
,
∂
μ
ϕ
A
+
∂
μ
(
δ
¯
ϕ
A
)
)
−
L
(
x
,
ϕ
A
,
∂
μ
ϕ
A
)
−
∂
μ
(
L
(
x
,
ϕ
A
,
∂
μ
ϕ
A
)
ε
i
ξ
i
μ
(
x
)
)
,
{\displaystyle 0=\int _{M}\mathrm {d} ^{n}x\,{\mathcal {L}}(x,\phi _{A}+{\bar {\delta }}\phi _{A},\partial _{\mu }\phi _{A}+\partial _{\mu }({\bar {\delta }}\phi _{A}))\,-\,{\mathcal {L}}(x,\phi _{A},\partial _{\mu }\phi _{A})\,-\,\partial _{\mu }\left({\mathcal {L}}(x,\phi _{A},\partial _{\mu }\phi _{A})\varepsilon ^{i}\xi _{i}^{\mu }(x)\right),}
kde jsme zavedli
δ
¯
ϕ
A
=
ϕ
A
′
(
x
)
−
ϕ
A
(
x
)
=
ϕ
A
′
(
x
′
)
−
ϕ
A
(
x
)
+
ϕ
A
′
(
x
)
−
ϕ
A
′
(
x
′
)
=
δ
ϕ
A
−
∂
μ
(
ϕ
A
)
δ
x
μ
.
{\displaystyle {\bar {\delta }}\phi _{A}=\phi '_{A}(x)-\phi _{A}(x)=\phi '_{A}(x')-\phi _{A}(x)+\phi '_{A}(x)-\phi '_{A}(x')=\delta \phi _{A}-\partial _{\mu }(\phi _{A})\delta x^{\mu }.}
δ
¯
ϕ
A
{\displaystyle {\bar {\delta }}\phi _{A}}
je tzv. Lieova derivace
ϕ
A
{\displaystyle \phi _{A}\,}
podle pole
ε
i
ξ
i
μ
{\displaystyle \varepsilon ^{i}\xi _{i}^{\mu }}
. Veličina
δ
¯
ϕ
A
{\displaystyle {\bar {\delta }}\phi _{A}}
se v užším kontextu, kde uvažujeme jako souřadnici jenom čas, označuje jako izochronní variace .
Diferencováním získáme
0
=
∫
M
d
n
x
∂
L
∂
ϕ
A
δ
¯
ϕ
A
+
∂
L
∂
(
∂
μ
ϕ
A
)
∂
μ
δ
¯
ϕ
A
−
∂
μ
(
L
(
x
,
ϕ
A
,
∂
μ
ϕ
A
)
ε
i
ξ
i
μ
(
x
)
)
,
{\displaystyle 0=\int _{M}\mathrm {d} ^{n}x\,{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi _{A}}}{\bar {\delta }}\phi _{A}\,+\,{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{A})}}\,\partial _{\mu }{\bar {\delta }}\phi _{A}\,-\,\partial _{\mu }\left({\mathcal {L}}(x,\phi _{A},\partial _{\mu }\phi _{A})\varepsilon ^{i}\xi _{i}^{\mu }(x)\right),}
což lze pomocí integrace per partes a Gaussovy věty jako
0
=
∫
M
d
n
x
L
∗
δ
¯
ϕ
A
+
∂
μ
(
∂
L
∂
(
∂
μ
ϕ
A
)
δ
¯
ϕ
A
)
−
∂
μ
(
L
(
x
,
ϕ
A
,
∂
μ
ϕ
A
)
ε
i
ξ
i
μ
(
x
)
)
.
{\displaystyle 0=\int _{M}\mathrm {d} ^{n}x\,{\mathcal {L}}^{*}{\bar {\delta }}\phi _{A}\,+\,\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{A})}}\,{\bar {\delta }}\phi _{A}\right)\,-\,\partial _{\mu }\left({\mathcal {L}}(x,\phi _{A},\partial _{\mu }\phi _{A})\varepsilon ^{i}\xi _{i}^{\mu }(x)\right).}
Pokud se dá
δ
¯
ϕ
A
{\displaystyle {\bar {\delta }}\phi _{A}}
vyjádřit jako
f
A
i
(
x
)
ε
i
{\displaystyle f_{Ai}(x)\varepsilon ^{i}}
a má platit pro všechna
ε
i
{\displaystyle \varepsilon ^{i}}
a zároveň platí
L
∗
=
0
{\displaystyle {\mathcal {L}}^{*}=0}
, získáme k rovnic
∂
μ
(
∂
L
∂
(
∂
μ
ϕ
A
)
δ
¯
ϕ
A
−
L
(
x
,
ϕ
A
,
∂
μ
ϕ
A
)
ξ
i
μ
(
x
)
ε
i
)
=
0
,
{\displaystyle \partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{A})}}\,{\bar {\delta }}\phi _{A}-{\mathcal {L}}(x,\phi _{A},\partial _{\mu }\phi _{A})\xi _{i}^{\mu }(x)\varepsilon ^{i}\right)=0,}
což jsou hledané zákony zachování .
Nyní uvažujme pouze soustavu hmotných bodů, které se nacházejí v potenciálu, který závisí jen na jejich vzájemné poloze. Lagrangián je tedy dán jako
S
[
x
→
]
{\displaystyle {\mathcal {S}}[{\vec {x}}]\,}
=
∫
d
t
L
(
X
→
(
t
)
,
X
→
˙
(
t
)
)
{\displaystyle =\int \mathrm {d} t\,{\mathcal {L}}({\vec {X}}(t),{\dot {\vec {X}}}(t))}
=
∫
d
t
[
∑
R
=
1
N
m
R
2
(
X
→
˙
R
)
2
−
∑
R
<
S
V
R
S
(
X
→
S
−
X
→
R
)
]
{\displaystyle =\int \mathrm {d} t\left[\sum _{R=1}^{N}{\frac {m_{R}}{2}}\left({\dot {\vec {X}}}_{R}\right)^{2}-\sum _{R<S}V_{RS}({\vec {X}}_{S}-{\vec {X}}_{R})\right]}
Roli souřadnice zde hraje jen čas t , zatímco polohy
X
→
(
t
)
{\displaystyle {\vec {X}}(t)}
hrají roli zkoumaných veličin výše označených jako
ϕ
A
{\displaystyle \phi _{A}\,}
. Protože nás zajímá infinitezimální transformace spojená s posunem v čase, zvolíme
ϕ
A
=
X
→
R
{\displaystyle \phi _{A}={\vec {X}}_{R}}
δ
ϕ
A
=
δ
X
→
R
=
0
{\displaystyle \delta \phi _{A}=\delta {\vec {X}}_{R}=0}
δ
t
=
−
ε
,
ξ
(
t
)
=
1
{\displaystyle \delta t=-\varepsilon ,\;\;\;\xi (t)=1}
Z toho dopočteme
δ
¯
ϕ
A
=
−
d
d
t
X
→
R
δ
t
=
X
˙
→
R
ε
{\displaystyle {\bar {\delta }}\phi _{A}=-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\vec {X}}_{R}\delta t={\vec {\dot {X}}}_{R}\,\varepsilon }
Povšimněme si, že
δ
t
{\displaystyle \delta t}
je nenulové, zatímco
δ
X
→
R
{\displaystyle \delta {\vec {X}}_{R}}
jsou nulové - o symetrie spojené s posunem v prostoru se nyní nezajímáme. Zákon zachování tedy dostáváme ve tvaru
d
d
t
(
∂
L
∂
X
˙
→
(
−
X
˙
→
)
−
L
)
ε
=
0
,
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\vec {\dot {X}}}}}(-{\vec {\dot {X}}})-{\mathcal {L}}\right)\varepsilon =0,}
což po dalších úpravách
d
d
t
(
∑
R
=
1
N
m
R
X
→
˙
R
(
X
˙
→
R
)
−
[
∑
R
=
1
N
m
R
2
(
X
→
˙
R
)
2
−
∑
R
<
S
V
R
S
(
X
→
S
−
X
→
R
)
]
)
=
0
,
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(\sum _{R=1}^{N}m_{R}{\dot {\vec {X}}}_{R}({\vec {\dot {X}}}_{R})-\left[\sum _{R=1}^{N}{\frac {m_{R}}{2}}\left({\dot {\vec {X}}}_{R}\right)^{2}-\sum _{R<S}V_{RS}({\vec {X}}_{S}-{\vec {X}}_{R})\right]\right)=0,}
d
d
t
(
∑
R
=
1
N
m
R
2
X
→
˙
R
2
+
∑
R
<
S
V
R
S
(
X
→
S
−
X
→
R
)
)
=
0
,
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(\sum _{R=1}^{N}{\frac {m_{R}}{2}}{\dot {\vec {X}}}_{R}^{2}+\sum _{R<S}V_{RS}({\vec {X}}_{S}-{\vec {X}}_{R})\right)=0,}
přejde na hledaný zákon zachování energie .