Pokud pro dva operátory
A
^
,
B
^
{\displaystyle {\hat {A}},{\hat {B}}}
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
A
^
f
=
B
^
f
{\displaystyle {\hat {A}}f={\hat {B}}f}
f
∈
X
{\displaystyle f\in X}
totožné .
Důležitým operátorem je operátor identity (jednotkový operátor )
I
^
{\displaystyle {\hat {I}}}
I
^
f
=
f
{\displaystyle {\hat {I}}f=f}
Působením operátoru identity
I
^
{\displaystyle {\hat {I}}}
Operátor
A
^
−
1
{\displaystyle {\hat {A}}^{-1}}
inverzním operátorem k
A
^
{\displaystyle {\hat {A}}}
A
^
A
^
−
1
=
A
^
−
1
A
^
=
I
^
{\displaystyle {\hat {A}}{\hat {A}}^{-1}={\hat {A}}^{-1}{\hat {A}}={\hat {I}}}
kde
I
^
{\displaystyle {\hat {I}}}
Platí vztah (mají-li obě strany smysl):
(
A
^
B
^
)
−
1
=
B
^
−
1
A
^
−
1
{\displaystyle {({\hat {A}}{\hat {B}})}^{-1}={\hat {B}}^{-1}{\hat {A}}^{-1}}
Lineární operátor
A
^
:
X
→
Y
{\displaystyle {\hat {A}}\colon X\to Y}
vektorovými prostory
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
A
^
(
∑
i
c
i
f
i
)
=
∑
i
c
i
(
A
^
f
i
)
,
{\displaystyle {\hat {A}}\left(\sum _{i}c_{i}f_{i}\right)=\sum _{i}c_{i}({\hat {A}}f_{i}),}
kde
f
i
{\displaystyle f_{i}}
X
{\displaystyle X}
c
i
{\displaystyle c_{i}}
Linearitu operátoru
A
^
{\displaystyle {\hat {A}}}
A
^
(
f
1
+
f
2
)
=
A
^
(
f
1
)
+
A
^
(
f
2
)
{\displaystyle {\hat {A}}(f_{1}+f_{2})={\hat {A}}(f_{1})+{\hat {A}}(f_{2})}
f
1
,
f
2
∈
X
{\displaystyle f_{1},f_{2}\in X}
A
^
(
c
f
1
)
=
c
A
^
(
f
1
)
{\displaystyle {\hat {A}}(cf_{1})=c{\hat {A}}(f_{1})}
c
∈
R
{\displaystyle c\in \mathbb {R} }
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
f
1
∈
X
{\displaystyle f_{1}\in X}
Příkladem lineárního operátoru je limita , která působí na funkce nebo posloupnosti. Dále mezi lineární operátory patří derivace , která je definována pomocí limity, a neurčitý integrál , jenž je inverzním operátorem k derivaci (až na konstantu).
Nelineárním operátorem je například operátor
A
^
=
sin
{\displaystyle {\hat {A}}=\sin }
f
{\displaystyle f}
A
^
f
=
sin
f
{\displaystyle {\hat {A}}f=\sin f}
Operátor nazýváme antilineární , jestliže platí
A
^
∑
i
c
i
f
i
=
∑
i
c
i
∗
A
^
f
i
{\displaystyle {\hat {A}}\sum _{i}c_{i}f_{i}=\sum _{i}c_{i}^{*}{\hat {A}}f_{i}}
kde
f
i
{\displaystyle f_{i}}
c
i
∗
{\displaystyle c_{i}^{*}}
komplexně sdružené k
c
i
{\displaystyle c_{i}}
Operátor
A
^
:
X
→
Y
{\displaystyle {\hat {A}}\colon X\to Y}
X
,
Y
{\displaystyle X,Y}
spojitý v bodě
f
0
∈
X
{\displaystyle f_{0}\in X}
posloupnost prvků
{
f
n
}
n
=
1
∞
⊂
X
{\displaystyle \{f_{n}\}_{n=1}^{\infty }\subset X}
f
n
→
f
0
{\displaystyle f_{n}\to f_{0}}
A
^
f
n
→
A
^
f
0
{\displaystyle {\hat {A}}f_{n}\to {\hat {A}}f_{0}}
g
n
→
g
0
{\displaystyle g_{n}\to g_{0}}
Y
{\displaystyle Y}
Lineární operátor, který je spojitý v nějakém bodě
f
1
∈
X
{\displaystyle f_{1}\in X}
f
∈
X
{\displaystyle f\in X}
Operátor
A
^
{\displaystyle {\hat {A}}}
omezený (ohraničený) , pokud existuje
μ
>
0
{\displaystyle \mu >0}
f
∈
X
{\displaystyle f\in X}
‖
A
^
f
‖
Y
≤
μ
‖
f
‖
X
{\displaystyle {\|{\hat {A}}f\|}_{Y}\leq \mu {\|f\|}_{X}}
kde
‖
f
‖
X
{\displaystyle {\|f\|}_{X}}
norma prvku
f
{\displaystyle f}
X
{\displaystyle X}
‖
A
^
f
‖
Y
{\displaystyle {\|{\hat {A}}f\|}_{Y}}
A
^
f
{\displaystyle {\hat {A}}f}
Y
{\displaystyle Y}
Lineární operátor je spojitý právě když je omezený. Součin omezených operátorů představuje opět omezený operátor. Podobně platí, že součet omezených operátorů je opět omezeným operátorem.
Infimum čísel
μ
{\displaystyle \mu }
A
^
{\displaystyle {\hat {A}}}
normu operátoru
‖
A
^
‖
{\displaystyle \|{\hat {A}}\|}
‖
A
^
‖
=
inf
μ
{\displaystyle \|{\hat {A}}\|=\inf \,\mu }
Normu lze také získat jako supremum množiny čísel
‖
A
^
f
‖
Y
{\displaystyle {\|{\hat {A}}f\|}_{Y}}
f
∈
X
{\displaystyle f\in X}
‖
A
^
‖
=
sup
‖
f
‖
X
=
1
‖
A
^
f
‖
Y
{\displaystyle \|{\hat {A}}\|=\sup _{{\|f\|}_{X}=1}{\|{\hat {A}}f\|}_{Y}}
editovat
Operátory na Hilbertových prostorech jsou klíčové v kvantové mechanice . Dále budeme využívat Diracovu notaci pro zápis skalárního součinu
⟨
⋅
|
⋅
⟩
{\displaystyle \langle \cdot |\cdot \rangle }
Ke každému lineárnímu operátoru
A
^
{\displaystyle {\hat {A}}}
sdružený operátor
A
^
+
{\displaystyle {\hat {A}}^{+}}
⟨
f
|
A
^
+
g
⟩
=
⟨
A
^
f
|
g
⟩
.
{\displaystyle \langle f|{\hat {A}}^{+}g\rangle =\langle {\hat {A}}f|g\rangle .}
Platí vztahy:
‖
A
^
+
‖
=
‖
A
^
‖
{\displaystyle \|{\hat {A}}^{+}\|=\|{\hat {A}}\|}
(
A
^
+
)
+
=
A
^
{\displaystyle {({\hat {A}}^{+})}^{+}={\hat {A}}}
(
A
^
+
B
^
)
+
=
A
^
+
+
B
^
+
,
{\displaystyle {({\hat {A}}+{\hat {B}})}^{+}={\hat {A}}^{+}\!\!+{\hat {B}}^{+},}
(
A
^
B
^
)
+
=
B
^
+
A
^
+
,
{\displaystyle {({\hat {A}}{\hat {B}})}^{+}={\hat {B}}^{+}{\hat {A}}^{+},}
(
λ
A
^
)
+
=
λ
∗
A
^
+
,
{\displaystyle {(\lambda {\hat {A}})}^{+}=\lambda ^{*}{\hat {A}}^{+},}
navíc pokud existuje inverzní operátor, platí
(
A
^
+
)
−
1
=
(
A
^
−
1
)
+
{\displaystyle ({\hat {A}}^{+})^{-1}=({\hat {A}}^{-1})^{+}}
Operátor
A
^
{\displaystyle {\hat {A}}}
symetrický (někdy také hermitovský ), jestliže platí
⟨
f
|
A
^
g
⟩
=
⟨
A
^
f
|
g
⟩
{\displaystyle \langle f|{\hat {A}}g\rangle =\langle {\hat {A}}f|g\rangle }
pro všechna
f
{\displaystyle f}
g
{\displaystyle g}
A
^
{\displaystyle {\hat {A}}}
Operátor
A
^
{\displaystyle {\hat {A}}}
antihermitovský , je-li operátor
i
A
^
{\displaystyle \mathrm {i} {\hat {A}}}
Operátor  se nazývá samosdružený , jestliže platí
A
^
+
=
A
^
{\displaystyle {\hat {A}}^{+}={\hat {A}}}
přičemž požadujeme i rovnost definičních oborů. Pro omezené operátory jsou pojmy samosdružený, hermitovský a symetrický ekvivalentní.
Samosdružený operátor
A
^
{\displaystyle {\hat {A}}}
pozitivní , když pro každé
|
u
⟩
{\displaystyle |u\rangle }
⟨
u
|
A
^
|
u
⟩
≥
0
{\displaystyle \langle u|{\hat {A}}|u\rangle \geq 0}
Operátor se označuje jako normální , když platí
[
A
^
,
A
^
+
]
=
0
{\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {A}}^{+}]=0}
kde
[
,
]
{\displaystyle [,]}
komutátor .
Operátor
A
^
{\displaystyle {\hat {A}}}
unitární , pokud platí
A
^
+
=
A
^
−
1
{\displaystyle {\hat {A}}^{+}={\hat {A}}^{-1}}
Pro libovolný unitární operátor
A
^
{\displaystyle {\hat {A}}}
⟨
A
^
u
|
A
^
v
⟩
=
⟨
u
|
v
⟩
{\displaystyle \langle {\hat {A}}u|{\hat {A}}v\rangle =\langle u|v\rangle }
Jestliže operátor
M
^
{\displaystyle {\hat {M}}}
⟨
M
^
u
|
M
^
v
⟩
=
⟨
u
|
v
⟩
{\displaystyle \langle {\hat {M}}u|{\hat {M}}v\rangle =\langle u|v\rangle }
pak operátor
M
^
{\displaystyle {\hat {M}}}
izometrický . Izometrický operátor sice splňuje vztah
M
^
+
M
^
=
I
^
{\displaystyle {\hat {M}}^{+}{\hat {M}}={\hat {I}}}
M
^
M
^
+
≠
I
^
{\displaystyle {\hat {M}}{\hat {M}}^{+}\neq {\hat {I}}}
Omezený lineární operátor
E
^
{\displaystyle {\hat {E}}}
projekční , splňuje-li podmínku
E
^
=
E
^
2
{\displaystyle {\hat {E}}={\hat {E}}^{2}}
Pokud navíc
E
^
=
E
^
+
{\displaystyle {\hat {E}}={\hat {E}}^{+}}
ortogonální projekci .
Je-li
E
^
{\displaystyle {\hat {E}}}
E
^
′
=
I
^
−
E
^
{\displaystyle {\hat {E}}'={\hat {I}}-{\hat {E}}}
kde
I
^
{\displaystyle {\hat {I}}}
E
^
+
E
^
′
=
I
^
{\displaystyle {\hat {E}}+{\hat {E}}'={\hat {I}}}
E
^
E
^
′
=
0
{\displaystyle {\hat {E}}{\hat {E}}'=0}
Je-li
|
ψ
k
⟩
{\displaystyle |\psi _{k}\rangle }
podprostoru tvořeného všemi vektory lineárně závislými na
|
ψ
k
⟩
{\displaystyle |\psi _{k}\rangle }
E
^
k
=
|
ψ
k
⟩
⟨
ψ
k
|
{\displaystyle {\hat {E}}_{k}={|\psi _{k}\rangle }\langle \psi _{k}|}
Jestliže množina vektorů
{
|
ψ
k
⟩
}
{\displaystyle \{{|\psi _{k}\rangle }\}}
bázi podprostoru
H
1
{\displaystyle H_{1}}
H
1
⊂
H
{\displaystyle H_{1}\subset H}
∑
k
E
^
k
=
∑
k
|
ψ
k
⟩
⟨
ψ
k
|
{\displaystyle \sum _{k}{\hat {E}}_{k}=\sum _{k}{|\psi _{k}\rangle }\langle \psi _{k}|}
Pokud je
H
1
=
H
{\displaystyle H_{1}=H}
∑
k
|
ψ
k
⟩
⟨
ψ
k
|
=
I
^
{\displaystyle \sum _{k}{|\psi _{k}\rangle }\langle \psi _{k}|={\hat {I}}}
Tento vztah představuje tzv. relaci úplnosti (uzavřenosti) .
Součtem dvou operátorů
A
^
,
B
^
{\displaystyle {\hat {A}},{\hat {B}}}
C
^
=
A
^
+
B
^
{\displaystyle {\hat {C}}={\hat {A}}+{\hat {B}}}
C
^
u
=
(
A
^
+
B
^
)
u
=
A
^
u
+
B
^
u
{\displaystyle {\hat {C}}u=({\hat {A}}+{\hat {B}})u={\hat {A}}u+{\hat {B}}u}
Operátor
C
^
{\displaystyle {\hat {C}}}
A
^
{\displaystyle {\hat {A}}}
B
^
{\displaystyle {\hat {B}}}
C
^
=
A
^
B
^
{\displaystyle {\hat {C}}={\hat {A}}{\hat {B}}}
u
{\displaystyle u}
C
^
u
=
A
^
(
B
^
u
)
{\displaystyle {\hat {C}}u={\hat {A}}({\hat {B}}u)}
Pomocí předchozího vztahu lze definovat mocninu operátoru, například
A
^
2
=
A
^
A
^
{\displaystyle {\hat {A}}^{2}={\hat {A}}{\hat {A}}}
Násobení operátorů není komutativní , tedy v obecném případě pro dva operátory
A
^
B
^
≠
B
^
A
^
{\displaystyle {\hat {A}}{\hat {B}}\neq {\hat {B}}{\hat {A}}}
A
^
,
B
^
{\displaystyle {\hat {A}},{\hat {B}}}
komutátor operátorů
[
A
^
,
B
^
]
=
[
A
^
,
B
^
]
−
=
A
^
B
^
−
B
^
A
^
{\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}]={[{\hat {A}},{\hat {B}}]}_{-}={\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}}}
Dva komutativní operátory
A
^
,
B
^
{\displaystyle {\hat {A}},{\hat {B}}}
u
{\displaystyle u}
[
A
^
,
B
^
]
=
0
{\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}]=0}
Jsou-li hermitovské operátory
A
^
,
B
^
{\displaystyle {\hat {A}},{\hat {B}}}
vlastní funkce .
Jestliže operátory
A
^
,
B
^
{\displaystyle {\hat {A}},{\hat {B}}}
[
A
^
,
B
^
]
=
0
{\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}]=0}
f
{\displaystyle f}
g
{\displaystyle g}
[
f
(
A
^
)
,
g
(
B
^
)
]
=
0
{\displaystyle [f({\hat {A}}),g({\hat {B}})]=0}
Kromě komutátoru se zavádí také antikomutátor operátorů
{
A
^
,
B
^
}
=
[
A
^
,
B
^
]
+
=
A
^
B
^
+
B
^
A
^
{\displaystyle \{{\hat {A}},{\hat {B}}\}={[{\hat {A}},{\hat {B}}]}_{+}={\hat {A}}{\hat {B}}+{\hat {B}}{\hat {A}}}
Z definice komutátoru a antikomutátoru vzniknou následující vztahy:
[
A
^
,
B
^
]
=
−
[
B
^
,
A
^
]
{\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}]=-[{\hat {B}},{\hat {A}}]}
[
A
^
,
B
^
+
C
^
]
=
[
A
^
,
B
^
]
+
[
A
^
,
C
^
]
{\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}+{\hat {C}}]=[{\hat {A}},{\hat {B}}]+[{\hat {A}},{\hat {C}}]}
[
A
^
,
B
^
C
^
]
=
[
A
^
,
B
^
]
C
^
+
B
^
[
A
^
,
C
^
]
=
{
A
^
,
B
^
}
C
^
−
B
^
{
A
^
,
C
^
}
{\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}{\hat {C}}]=[{\hat {A}},{\hat {B}}]{\hat {C}}+{\hat {B}}[{\hat {A}},{\hat {C}}]=\{{\hat {A}},{\hat {B}}\}{\hat {C}}-{\hat {B}}\{{\hat {A}},{\hat {C}}\}}
[
A
^
B
^
,
C
^
]
=
A
^
[
B
^
,
C
^
]
+
[
A
^
,
C
^
]
B
^
=
A
^
{
B
^
,
C
^
}
−
{
A
^
,
C
^
}
B
^
{\displaystyle [{\hat {A}}{\hat {B}},{\hat {C}}]={\hat {A}}[{\hat {B}},{\hat {C}}]+[{\hat {A}},{\hat {C}}]{\hat {B}}={\hat {A}}\{{\hat {B}},{\hat {C}}\}-\{{\hat {A}},{\hat {C}}\}{\hat {B}}}
{
A
^
,
B
^
}
=
{
B
^
,
A
^
}
{\displaystyle \{{\hat {A}},{\hat {B}}\}=\{{\hat {B}},{\hat {A}}\}}
{
A
^
,
B
^
+
C
^
}
=
{
A
^
,
B
^
}
+
{
A
^
,
C
^
}
{\displaystyle \{{\hat {A}},{\hat {B}}+{\hat {C}}\}=\{{\hat {A}},{\hat {B}}\}+\{{\hat {A}},{\hat {C}}\}}
{
A
^
,
B
^
C
^
}
=
{
A
^
,
B
^
}
C
^
−
B
^
[
A
^
,
C
^
]
=
B
^
{
C
^
,
A
^
}
−
[
B
^
,
A
^
]
C
^
{\displaystyle \{{\hat {A}},{\hat {B}}{\hat {C}}\}=\{{\hat {A}},{\hat {B}}\}{\hat {C}}-{\hat {B}}[{\hat {A}},{\hat {C}}]={\hat {B}}\{{\hat {C}},{\hat {A}}\}-[{\hat {B}},{\hat {A}}]{\hat {C}}}
{
A
^
B
^
,
C
^
}
=
A
^
{
B
^
,
C
^
}
−
[
A
^
,
C
^
]
B
^
=
{
C
^
,
A
^
}
B
^
−
A
^
[
C
^
,
B
^
]
{\displaystyle \{{\hat {A}}{\hat {B}},{\hat {C}}\}={\hat {A}}\{{\hat {B}},{\hat {C}}\}-[{\hat {A}},{\hat {C}}]{\hat {B}}=\{{\hat {C}},{\hat {A}}\}{\hat {B}}-{\hat {A}}[{\hat {C}},{\hat {B}}]}
Platí také Jacobiho identita
[
A
^
,
[
B
^
,
C
^
]
]
+
[
B
^
,
[
C
^
,
A
^
]
]
+
[
C
^
,
[
A
^
,
B
^
]
]
=
0
{\displaystyle [{\hat {A}},[{\hat {B}},{\hat {C}}]]+[{\hat {B}},[{\hat {C}},{\hat {A}}]]+[{\hat {C}},[{\hat {A}},{\hat {B}}]]=0}
![{\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {A}}^{+}]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f09d346fcd5063b0fa3460c4807ef2bf7af60940)
![{\displaystyle [,]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f04349be7aa458edb6f1ab423189a8455c6e21f7)
![{\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}]={[{\hat {A}},{\hat {B}}]}_{-}={\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7e1bc5dc4c49d02158a6a1db0cb57f294a4f77c)
![{\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac8a9b22bee144c8197821d7d68194115179a420)
![{\displaystyle [f({\hat {A}}),g({\hat {B}})]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/645bca558299aa1e42dd5fd8e9538aa8c97ac968)
![{\displaystyle \{{\hat {A}},{\hat {B}}\}={[{\hat {A}},{\hat {B}}]}_{+}={\hat {A}}{\hat {B}}+{\hat {B}}{\hat {A}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ffd688f9dd61a510d6236a35fb74c51cca09e27)
![{\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}]=-[{\hat {B}},{\hat {A}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71751561fdf8eb615f1a5edd7ed2e5acf65e913f)
![{\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}+{\hat {C}}]=[{\hat {A}},{\hat {B}}]+[{\hat {A}},{\hat {C}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be593418a3563883dd9e791e02042b8ea2226618)
![{\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}{\hat {C}}]=[{\hat {A}},{\hat {B}}]{\hat {C}}+{\hat {B}}[{\hat {A}},{\hat {C}}]=\{{\hat {A}},{\hat {B}}\}{\hat {C}}-{\hat {B}}\{{\hat {A}},{\hat {C}}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a973764231071e31296b34566c45a52ba00fa7b)
![{\displaystyle [{\hat {A}}{\hat {B}},{\hat {C}}]={\hat {A}}[{\hat {B}},{\hat {C}}]+[{\hat {A}},{\hat {C}}]{\hat {B}}={\hat {A}}\{{\hat {B}},{\hat {C}}\}-\{{\hat {A}},{\hat {C}}\}{\hat {B}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad2088de8a37cd4b08df1a53f8b424f901232799)
![{\displaystyle \{{\hat {A}},{\hat {B}}{\hat {C}}\}=\{{\hat {A}},{\hat {B}}\}{\hat {C}}-{\hat {B}}[{\hat {A}},{\hat {C}}]={\hat {B}}\{{\hat {C}},{\hat {A}}\}-[{\hat {B}},{\hat {A}}]{\hat {C}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49cc6d2daed02aa14652a7fb527139889e6caec6)
![{\displaystyle \{{\hat {A}}{\hat {B}},{\hat {C}}\}={\hat {A}}\{{\hat {B}},{\hat {C}}\}-[{\hat {A}},{\hat {C}}]{\hat {B}}=\{{\hat {C}},{\hat {A}}\}{\hat {B}}-{\hat {A}}[{\hat {C}},{\hat {B}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65e8445c9e7571ed2846afa50591034a8b3aa767)
![{\displaystyle [{\hat {A}},[{\hat {B}},{\hat {C}}]]+[{\hat {B}},[{\hat {C}},{\hat {A}}]]+[{\hat {C}},[{\hat {A}},{\hat {B}}]]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/814af30c9b10e8eabeae976e22d1d447654dfc99)
