Kořen (matematika)

Kořenem funkce $f$ se v matematice nazývá takový prvek a z definičního oboru funkce $f$, v němž funkce $f$ nabývá nulové hodnoty. Přesněji kořenem funkce je každá hodnota $a$ splňující rovnici $f$($a$) = 0.

Graf polynomiální funkce $f(x)=x^{3}+2x^{2}-7x+4$ se dvěma kořeny $-4$ a $1$.

Pro nejběžnější případ, kdy je definiční obor funkce $f$ podmnožinou komplexních resp. reálných čísel, je kořen bod, v němž graf funkce $f$ protíná komplexní rovinu resp. osu $x$ souřadnicového systému.

Kořen polynomu

Polynom jedné proměnné stupně $n$ s komplexními koeficienty chápaný jako funkce může mít nejvýše $n$ různých komplexních kořenů. Je-li $a$ kořenem polynomu $P(x)$, pak $(x-a)$dělí $P(x)$ a tedy ${\frac {P(x)}{(x-a)}}$ je polynom stupně $n-1$.

Podle základní věty algebry má každý polynom jedné proměnné stupně $n$ s komplexními koeficienty v komplexních číslech právě $n$ kořenů, je-li každý počítán ve své násobnosti. Uvažujeme-li polynom nad reálnými čísly, pak tato situace nemusí obecně platit – např. polynom $x^{2}+1$ nemá řešení v oboru reálných čísel.

Řešení: $x^{2}+1=0;$ $x^{2}=-1$; $x=\pm i$ .

Metody výpočtu

Přímý výpočet

Je-li lineární polynom ($P(x)=ax+b;$ kde $a\neq 0,b$ jsou reálná nebo komplexní čísla, pak jeho kořenem je číslo $x_{0}=-{\frac {b}{a}}$.

Pro kvadratický polynom ($P(x)=ax^{2}+bx+c$), existují obecně dva kořeny $x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$.

Příklad1: rovnice v součinném tvaru $(2x+1)(x-3)=0$

řešení:

$2x+1=0\Rightarrow x_{1}=-{\frac {1}{2}}$;

$x-3=0\Rightarrow x_{2}=3$

Pro výpočet kořenů kubického polynomu lze použít např. Cardanovy vzorce nebo Hornerovo schéma.

Příklad2: $x^{3}+3x^{2}+2x+6=0$ , hledané řešení: $x\in R$

$x^{3}+3x^{2}+2x+6=0=(x-a)(x^{2}+px+q)$ , kde $a$ je kořen a $p,q\in R$,

po roznásobení pravé strany a úpravě vytýkáním, vznikne rovnice:

$x^{3}+3x^{2}+2x+6=0=x^{3}+(p-a)x^{2}+(q-ap)x-aq$

porovnáním koeficientů u stejné mocniny $x$ vznikne soustava tří rovnic o třech neznámých:

$3=p-a$

$2=q-ap$

$6=-aq$

Vyřešené hodnoty $a=-3;p=0;q=2$ lze dosadit do rovnice

$x^{3}+3x^{2}+2x+6=0=x^{3}+(p-a)x^{2}+(q-ap)x-aq=(x+3)(x^{2}+2)$

vyřešením rovnic v součinném tvaru je kořen rovnice pouze číslo $x_{1}=-3$, kvadratická rovnice $x^{2}+2=0$ nemá v oboru $R$ řešení.

Aproximace

Související informace naleznete také v článcích Půlení intervalů a Metoda tečen.

Najdeme-li dva body $x_{1}$ a $x_{2}$, pro které platí $\operatorname {sgn}(P(x_{1}))=-\operatorname {sgn}(P(x_{2}))$, kde $\operatorname {sgn}$ značí znaménkovou funkci signum ($P(x_{1})P(x_{2})<0$), pak existuje alespoň jeden kořen v intervalu $(x_{1},x_{2})$, (viz Bolzanova věta). Tento kořen lze najít metodou půlení intervalů nebo metodou tečen.

Příklady

• Funkce $f(x)=e^{x}$ (viz Eulerovo číslo) nemá v reálných ani komplexních číslech kořen.
• Funkce $f(x)=sin(x)$ (viz sinus) má nekonečně mnoho kořenů (je periodická) , a to právě čísla tvaru kπ, kde π je Ludolfovo číslo a k libovolné celé číslo.

Reference

Externí odkazy

Řešené příklady(německy)

Portály: Matematika