Funkce signum

Funkce signum (neboli znaménková funkce, zkratka sgn) je matematická funkce reálné nebo komplexní proměnné, která číslu přiřazuje komplexní jednotku vyjadřující orientovaný směr od obrazu nuly k obrazu tohoto čísla.

Graf reálné funkce signum

Reálné signum

Reálné signum je definováno následujícím způsobem:

$\operatorname {sgn} x={\begin{cases}-1,&x<0\\0,&x=0\\1,&x>0\end{cases}}$

Libovolné číslo lze tedy vyjádřit jako součin znaménka a absolutní hodnoty:

$x=\operatorname {sgn}(x)\cdot |x|$

Komplexní signum

Funkce signum může být zobecněna na komplexní čísla tak, že

$\operatorname {sgn} z={\frac {z}{|z|}}$

pro každé $z\in \mathbb {C}$ s výjimkou $z=0$. Signum daného komplexního čísla $z$ je bod na jednotkové kružnici v komplexní rovině se středem v počátku [0,0], který je nejblíže $z$.

Další zobecnění funkce signum na reálné a komplexní výrazy je funkce csgn, definovaná takto:

$\operatorname {csgn} (z)={\begin{cases}1,&\Re (z)>0\vee (\Re (z)=0\land \Im (z)>0)\\-1,&\Re (z)<0\vee (\Re (z)=0\land \Im (z)<0)\\0,&\Re (z)=\Im (z)=0\end{cases}}$

Potom (kromě $z=0$):

$\operatorname {csgn} (z)={\frac {z}{\sqrt {z^{2}}}}={\frac {\sqrt {z^{2}}}{z}}$

Vlastnosti

• Znaménková funkce je lichá.
• Znaménková funkce reálné proměnné je spojitá ve všech bodech kromě počátku.
• Primitivní funkce k funkci signum je absolutní hodnota, ale derivací absolutní hodnoty není signum (v bodě nula není derivace definována).

Související články

• Heavisideova funkce
• Znaménko permutace
• Levi-Civitův symbol

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu funkce signum na Wikimedia Commons

Portály: Matematika