Identická relace

Identická relace (někdy také prostě identita) na množině $X\,\!$ , označovaná obvykle $id_{X}\,\!$ , je binární relace, pro kterou platí:

id_{X}=\{(a,a);a\in X\}

Zjednodušeně řečeno: v identické relaci je každý prvek podkladové množiny obsažen pouze jednou - a to sám se sebou.

Příklady a vlastnosti

Relace = je identita na přirozených, celých, racionálních, reálných i komplexních číslech.
Relace < není identita na přirozených číslech, protože 1<2 - v relaci < je tedy obsažena „neidentická“ dvojice .

Obecněji by se dalo říct, že relace = je obvykle zaváděna jako identita ve všech matematických strukturách, nejen výše uvedených číselných oborech (vizte například teorie množin, algebraické struktury).

Identita jako nejmenší ekvivalence

Identita $id_{X}\,\!$ je ekvivalence na množině $X\,\!$ - je reflexivní, symetrická i tranzitivní. Navíc pokud na množině všech ekvivalencí na $X\,\!$ definujeme uspořádání podle zjemnění rozkladu, pak je $id_{X}\,\!$ nejmenší prvek množiny všech ekvivalencí na $X\,\!$ vzhledem k tomuto uspořádání (identitu již nelze dále zjemnit, protože každá její rozkladová množina má pouze jeden prvek).

Identita jako nejmenší neostré uspořádání

Identita je $id_{X}\,\!$ je také neostré uspořádání množiny $X\,\!$ . Není to nijak zajímavé uspořádání - žádné dva různé prvky nejsou porovnatelné. Jedná se ale opět o nejmenší prvek - tentokrát množiny všech neostrých uspořádání množiny $X\,\!$ .