Předpokládejme, že jsou
R
1
{\displaystyle R_{1}\,\!}
R
2
{\displaystyle R_{2}\,\!}
rozklady množiny
X
{\displaystyle X\,\!}
X
{\displaystyle X\,\!}
sjednocení je rovno
X
{\displaystyle X\,\!}
disjunktní množiny ).
Řekneme, že rozklad
R
1
{\displaystyle R_{1}\,\!}
zjemněním rozkladu
R
2
{\displaystyle R_{2}\,\!}
R
1
{\displaystyle R_{1}\,\!}
R
2
{\displaystyle R_{2}\,\!}
podmnožiny . Přesněji zapsáno
(
∀
a
∈
R
1
)
(
∃
b
∈
R
2
)
(
a
⊆
b
)
{\displaystyle (\forall a\in R_{1})(\exists b\in R_{2})(a\subseteq b)\,\!}
Tuto skutečnost zapisujeme symbolem
R
1
≪
R
2
{\displaystyle R_{1}\ll R_{2}\,\!}
Uvažujme o rozkladech množiny
ω
{\displaystyle \omega \,\!}
přirozených čísel .
Rozklad na všechny jednoprvkové podmnožiny
ω
/
i
d
=
{
{
0
}
,
{
1
}
,
{
2
}
,
…
}
{\displaystyle \omega /id=\{\{0\},\{1\},\{2\},\ldots \}\,\!}
ω
{\displaystyle \omega \,\!}
R
{\displaystyle R\,\!}
ω
/
i
d
≪
R
{\displaystyle \omega /id\ll R\,\!}
Rozklad množiny
ω
{\displaystyle \omega \,\!}
ω
{\displaystyle \omega \,\!}
R
1
=
{
ω
}
{\displaystyle R_{1}=\{\omega \}\,\!}
ω
{\displaystyle \omega \,\!}
R
{\displaystyle R\,\!}
R
≪
R
1
{\displaystyle R\ll R_{1}\,\!}
Je-li
R
n
{\displaystyle R_{n}\,\!}
ω
{\displaystyle \omega \,\!}
R
3
=
{
{
0
,
3
,
6
,
…
}
,
{
1
,
4
,
7
,
…
}
,
{
2
,
5
,
8
,
…
}
}
{\displaystyle R_{3}=\{\{0,3,6,\ldots \},\{1,4,7,\ldots \},\{2,5,8,\ldots \}\}\,\!}
R
a
≪
R
b
{\displaystyle R_{a}\ll R_{b}\,\!}
dělí a. Například
R
8
≪
R
4
≪
R
2
≪
R
1
{\displaystyle R_{8}\ll R_{4}\ll R_{2}\ll R_{1}\,\!}
R
1500
≪
R
30
{\displaystyle R_{1500}\ll R_{30}\,\!}
Dá se poměrně snadno ověřit, že relace
≪
{\displaystyle \ll \,\!}
neostré uspořádání množiny
R
(
X
)
{\displaystyle R(X)\,\!}
X
{\displaystyle X\,\!}
lineární uspořádání – pokud se vrátíme k předchozímu příkladu, tak neplatí ani
R
2
≪
R
3
{\displaystyle R_{2}\ll R_{3}\,\!}
R
3
≪
R
2
{\displaystyle R_{3}\ll R_{2}\,\!}
Uvažujme o tříprvkové množině
X
=
{
1
,
2
,
3
}
{\displaystyle X=\{1,2,3\}\,\!}
R
(
X
)
=
{
R
a
,
R
b
,
R
c
,
R
d
,
R
e
}
{\displaystyle R(X)=\{R_{a},R_{b},R_{c},R_{d},R_{e}\}\,\!}
R
a
=
{
{
1
}
,
{
2
}
,
{
3
}
}
{\displaystyle R_{a}=\{\{1\},\{2\},\{3\}\}\,\!}
R
b
=
{
{
1
,
2
}
,
{
3
}
}
{\displaystyle R_{b}=\{\{1,2\},\{3\}\}\,\!}
R
c
=
{
{
1
,
3
}
,
{
2
}
}
{\displaystyle R_{c}=\{\{1,3\},\{2\}\}\,\!}
R
d
=
{
{
2
,
3
}
,
{
1
}
}
{\displaystyle R_{d}=\{\{2,3\},\{1\}\}\,\!}
R
e
=
{
{
1
,
2
,
3
}
}
{\displaystyle R_{e}=\{\{1,2,3\}\}\,\!}
Je vidět, že
R
a
≪
R
b
≪
R
e
{\displaystyle R_{a}\ll R_{b}\ll R_{e}\,\!}
R
a
≪
R
c
≪
R
e
{\displaystyle R_{a}\ll R_{c}\ll R_{e}\,\!}
R
a
≪
R
d
≪
R
e
{\displaystyle R_{a}\ll R_{d}\ll R_{e}\,\!}
R
b
,
R
c
,
R
d
{\displaystyle R_{b},R_{c},R_{d}\,\!}
Jak je uvedeno v článku Ekvivalence (matematika) , odpovídá každý rozklad na množině
X
{\displaystyle X\,\!}
X
{\displaystyle X\,\!}
Je-li
R
{\displaystyle R\,\!}
∼
R
{\displaystyle \sim _{R}\,\!}
tříd ekvivalence
∼
R
{\displaystyle \sim _{R}\,\!}
∼
R
{\displaystyle \sim _{R}\,\!}
R
{\displaystyle R\,\!}
a
∼
R
b
⇔
(
∃
y
∈
R
)
(
a
∈
y
∧
b
∈
y
)
{\displaystyle a\sim _{R}b\Leftrightarrow (\exists y\in R)(a\in y\land b\in y)\,\!}
R
{\displaystyle R\,\!}
Označme
E
(
X
)
{\displaystyle E(X)\,\!}
X
{\displaystyle X\,\!}
Dá se ukázat, že relace
⊆
{\displaystyle \subseteq \,\!}
podmnožinou ) se chová na množině
E
(
X
)
{\displaystyle E(X)\,\!}
≪
{\displaystyle \ll \,\!}
R
(
X
)
{\displaystyle R(X)\,\!}
Množina
R
(
X
)
{\displaystyle R(X)\,\!}
při uspořádání
≪
{\displaystyle \ll \,\!}
je izomorfní s množinou
E
(
X
)
{\displaystyle E(X)\,\!}
při uspořádání
⊆
{\displaystyle \subseteq \,\!}
editovat
Vraťme se k tříprvkové množině
X
=
{
1
,
2
,
3
}
{\displaystyle X=\{1,2,3\}\,\!}
E
(
X
)
=
{
E
a
,
E
b
,
E
c
,
E
d
,
E
e
}
{\displaystyle E(X)=\{E_{a},E_{b},E_{c},E_{d},E_{e}\}\,\!}
E
a
=
{
[
1
,
1
]
,
[
2
,
2
]
,
[
3
,
3
]
}
{\displaystyle E_{a}=\{[1,1],[2,2],[3,3]\}\,\!}
E
b
=
{
[
1
,
1
]
,
[
2
,
2
]
,
[
3
,
3
]
,
[
1
,
2
]
,
[
2
,
1
]
}
{\displaystyle E_{b}=\{[1,1],[2,2],[3,3],[1,2],[2,1]\}\,\!}
E
c
=
{
[
1
,
1
]
,
[
2
,
2
]
,
[
3
,
3
]
,
[
1
,
3
]
,
[
3
,
1
]
}
{\displaystyle E_{c}=\{[1,1],[2,2],[3,3],[1,3],[3,1]\}\,\!}
E
d
=
{
[
1
,
1
]
,
[
2
,
2
]
,
[
3
,
3
]
,
[
2
,
3
]
,
[
3
,
2
]
}
{\displaystyle E_{d}=\{[1,1],[2,2],[3,3],[2,3],[3,2]\}\,\!}
E
e
=
{
[
1
,
1
]
,
[
2
,
2
]
,
[
3
,
3
]
,
[
1
,
2
]
,
[
2
,
1
]
,
[
1
,
3
]
,
[
3
,
1
]
,
[
2
,
3
]
,
[
3
,
2
]
}
{\displaystyle E_{e}=\{[1,1],[2,2],[3,3],[1,2],[2,1],[1,3],[3,1],[2,3],[3,2]\}\,\!}
Není ani příliš překvapivé, že mezi těmito ekvivalencemi platí stejné vztahy, jako mezi rozklady – tak už to u izomorfních struktur chodí:
E
a
⊆
E
b
⊆
E
e
{\displaystyle E_{a}\subseteq E_{b}\subseteq E_{e}\,\!}
E
a
⊆
E
c
⊆
E
e
{\displaystyle E_{a}\subseteq E_{c}\subseteq E_{e}\,\!}
E
a
⊆
E
d
⊆
E
e
{\displaystyle E_{a}\subseteq E_{d}\subseteq E_{e}\,\!}
E
b
,
E
c
,
E
d
{\displaystyle E_{b},E_{c},E_{d}\,\!}
editovat
Na závěr ještě podotkněme, že množina všech rozkladů s uspořádáním pomocí zjemnění tvoří algebraickou strukturu nazývanou úplný svaz – lze na ní tedy zavést operace součtu a součinu a s rozklady počítat podobně, jako by to byla čísla.
![{\displaystyle E_{a}=\{[1,1],[2,2],[3,3]\}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1bd95ddcf5eedae3825bc0a0c9e004459945d50)
![{\displaystyle E_{b}=\{[1,1],[2,2],[3,3],[1,2],[2,1]\}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28321012592b82eba46f68ef853ac63892a9c746)
![{\displaystyle E_{c}=\{[1,1],[2,2],[3,3],[1,3],[3,1]\}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d96a77e098e8f48951c429cd203508aba608154b)
![{\displaystyle E_{d}=\{[1,1],[2,2],[3,3],[2,3],[3,2]\}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a81cdd8a9a39b6a6fb8f1df365681bb1029ccaf7)
![{\displaystyle E_{e}=\{[1,1],[2,2],[3,3],[1,2],[2,1],[1,3],[3,1],[2,3],[3,2]\}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63d6cf3f8d90b2a03991612ec9e2eef175f2d4cc)
