Binární relace

Binární relace je pojem z matematiky, vyjadřuje vztah (relaci) prvků jedné množiny k prvkům v množině druhé.

Příklad: Mějme množiny čísel $A=(1,5,8)$, $B=(3,5,6)$. Definujeme vztah (binární relaci) „je větší“ prvků z $A$ k prvkům z $B$. Vidíme, že číslo $8$ (z množiny $A$) „je větší“ než číslo $3$ z $B$. A říkáme, že prvek $8$ je v binární relaci „je větší“ s prvkem $3$, zkráceně $(8$ „je větší“ $3)$. Většinou prvky, které jsou v binární relaci, značíme jen jako uspořádanou dvojici $[8,3]$. Binární relaci z tohoto příkladu lze popsat jako množinu uspořádaných dvojic $R=([8,3],[8,5],[8,6],[5,3])$. Na množinu $R$ lze nahlížet jako na podmnožinu kartézského součinu $A\times B$. Množiny $(A,B,R)$ lze použít jako definici binární relace.

Definice

Binární relace je uspořádaná trojice $[A,$ $B,$ $R]$, kde $A$ a $B$ jsou libovolné množiny a $R$ je podmnožina kartézského součinu $A\times B$. Množině $A$ se říká definiční obor, množině $B$ obor hodnot a množinu $R$ nazýváme graf relace.

Binární relace značíme uspořádanou dvojicí $[x,$ $y]$, nebo pokud chceme rozlišit, o kterou relaci se jedná, pak $(x$ $R$ $y)$, kde $x\in A,\ y\in B$ a $R$ je označení příslušné množiny z definice.

Druhy relací

Binární relace je:

• symetrická, pokud platí $(x$ $R$ $y)$, pak platí $(y$ $R$ $x)$.

Příkladem může být relace $R$ „je sourozenec“. Je-li $A$ i $B$ množinou všech mých příbuzných, pak musí existovat (já $R$ sestra) a také (sestra $R$ já). Pokud sourozence nemám, je množina relací prázdná, i taková relace je symetrická.

• antisymetrická pokud $(x$ $R$ $y)$ a současně $(y$ $R$ $x)$, pak platí $x=y$.

• tranzitivní, pokud $(x$ $R$ $y)$ a současně $(y$ $R$ $z)$, pak platí $(x$ $R$ $z)$.

Příkladem může být už zmíněná relace "je sourozenec" nebo relace "je vyšší". Já jsem vyšší než Petr a současně Petr je vyšší než Ondřej, z toho plyne: Já jsem vyšší než Ondřej. Tranzitivní relací například není relace "být kamarád". Já jsem kamarád Petra, on je kamarád Ondřeje, z toho ale nevyplývá kamarádství mezi mnou a Ondřejem.

• reflexivní, pokud pro každé $x$ platí $(x$ $R$ $x)$. (Prvek $x$ je v relaci sám se sebou.)

Příklad reflexivní relace je "je stejný", příklad nereflexivní relace je "je vyšší". Neplatí, já "je vyšší" (než) já.

Relaci, která je reflexivní, symetrická, a tranzitivní nazýváme relace ekvivalence.

Relaci, která je reflexivní, antisymetrická a tranzitivní nazýváme částečné uspořádání.

Další typy: úplné uspořádání, dobré uspořádání.

Operace s relacemi

Na množině binárních relací jsou definovány následující operace, jejichž výsledkem je opět relace:

• Inverzní relace k relaci $R$ mezi množinami $B$ a $A$ je relace $R^{-1}=\{[y,x]\in B\times A\ |\ [x,y]\in R\}$

• Relace složená z relací $R$ a $S$ je relace $R\circ S=\{[x,z]\ |\ [x,y]\in R\land [y,z]\in S\}$

• Průnik relací $R$ a $S$ je relace $R\cap S=\{[x,y]\ |\ [x,y]\in R\land [x,y]\in S\}$

• Sjednocení relací $R$ a $S$ je relace $R\cup S=\{[x,y]\ |\ [x,y]\in R\lor [x,y]\in S\}$

Literatura

BARTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce. 4. vyd. Praha: Academia, 1994. 832 s. ISBN 80-200-1448-9. 

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu binární relace na Wikimedia Commons