Frobeniův skalární součin dvou reálných, ne nutně čtvercových , matic
A
∈
R
m
×
n
{\displaystyle {\boldsymbol {A}}\in \mathbb {R} ^{m\times n}}
B
∈
R
m
×
n
{\displaystyle {\boldsymbol {B}}\in \mathbb {R} ^{m\times n}}
⟨
A
,
B
⟩
F
=
∑
i
=
1
m
∑
j
=
1
n
a
i
j
b
i
j
{\displaystyle \langle {\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}}\rangle _{\mathrm {F} }=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{ij}}
Jinými slovy, Frobeniův skalární součin získáme ze součinů odpovídajících složek obou daných matic a následným součtem všech těchto dílčích součinů. Odpovídá standardnímu skalárnímu součinu , pokud matice chápeme jako vektory dimenze
m
n
{\displaystyle mn}
skalárnímu součinu dvou vektorů.
Frobeniův skalární součin dvou komplexních matic
A
∈
C
m
×
n
{\displaystyle {\boldsymbol {A}}\in \mathbb {C} ^{m\times n}}
B
∈
C
m
×
n
{\displaystyle {\boldsymbol {B}}\in \mathbb {C} ^{m\times n}}
⟨
A
,
B
⟩
F
=
∑
i
=
1
m
∑
j
=
1
n
a
i
j
b
i
j
¯
{\displaystyle \langle {\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}}\rangle _{\mathrm {F} }=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{\overline {b_{ij}}}}
Pruh značí komplexně sdružené číslo.
Lze se setkat i s definicí používající komplexně sdružená čísla pro prvky první matice, čili
⟨
A
,
B
⟩
F
=
∑
i
=
1
m
∑
j
=
1
n
a
i
j
¯
b
i
j
{\displaystyle \langle {\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}}\rangle _{\mathrm {F} }=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}{\overline {a_{ij}}}b_{ij}}
ovšem takto definovaný součin není lineární vůči skalárním násobkům v první složce, ale ve druhé.
Ve fyzice se Frobeniův skalární součin dvou matic
A
{\displaystyle {\boldsymbol {A}}}
B
{\displaystyle {\boldsymbol {B}}}
A
:
B
{\displaystyle {\boldsymbol {A}}\,\colon \,{\boldsymbol {B}}}
Jsou-li
A
{\displaystyle {\boldsymbol {A}}}
B
{\displaystyle {\boldsymbol {B}}}
reálné matice, pak je Frobeniův skalární součin součtem prvků Hadamardova součinu .
Jsou-li matice vektorizovány (tj. převedeny na sloupcové vektory, označené "
vec
{\displaystyle \operatorname {vec} }
vec
A
=
(
a
11
a
12
⋮
a
21
a
22
⋮
a
n
m
)
{\displaystyle \operatorname {vec} {\boldsymbol {A}}={\begin{pmatrix}a_{11}\\a_{12}\\\vdots \\a_{21}\\a_{22}\\\vdots \\a_{nm}\end{pmatrix}}}
vec
B
=
(
b
11
b
12
⋮
b
21
b
22
⋮
b
n
m
)
{\displaystyle \operatorname {vec} {\boldsymbol {B}}={\begin{pmatrix}b_{11}\\b_{12}\\\vdots \\b_{21}\\b_{22}\\\vdots \\b_{nm}\end{pmatrix}}}
(
vec
A
)
T
vec
B
¯
=
(
a
11
,
a
12
,
…
,
a
21
,
a
22
,
…
,
a
n
m
)
(
b
11
¯
b
12
¯
⋮
b
21
¯
b
22
¯
⋮
b
n
m
¯
)
{\displaystyle (\operatorname {vec} {\boldsymbol {A}})^{\mathrm {T} }{\overline {\operatorname {vec} {\boldsymbol {B}}}}=(a_{11},a_{12},\ldots ,a_{21},a_{22},\ldots ,a_{nm}){\begin{pmatrix}{\overline {b_{11}}}\\{\overline {b_{12}}}\\\ \vdots \\{\overline {b_{21}}}\\{\overline {b_{22}}}\\\vdots \\{\overline {b_{nm}}}\end{pmatrix}}}
Odtud plyne přímo
⟨
A
,
B
⟩
F
=
(
vec
A
)
T
vec
B
¯
{\displaystyle \langle {\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}}\rangle _{\mathrm {F} }=(\operatorname {vec} {\boldsymbol {A}})^{\mathrm {T} }{\overline {\operatorname {vec} {\boldsymbol {B}}}}}
Frobeniova norma je norma přidružená k Frobeniovu skalárnímu součinu, neboli:
‖
A
‖
F
=
⟨
A
,
A
⟩
F
{\displaystyle \|{\boldsymbol {A}}\|_{\mathrm {F} }={\sqrt {\langle {\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {A}}\rangle _{\mathrm {F} }}}}
Frobeniův skalární součin dvou reálných matic typu
2
×
3
{\displaystyle 2\times 3}
A
=
(
2
0
6
1
−
1
2
)
{\displaystyle {\boldsymbol {A}}={\begin{pmatrix}2&0&6\\1&-1&2\end{pmatrix}}}
B
=
(
8
−
3
2
4
1
−
5
)
{\displaystyle {\boldsymbol {B}}={\begin{pmatrix}8&-3&2\\4&1&-5\end{pmatrix}}}
je roven
⟨
A
,
B
⟩
F
=
2
⋅
8
+
0
⋅
(
−
3
)
+
6
⋅
2
+
1
⋅
4
+
(
−
1
)
⋅
1
+
2
⋅
(
−
5
)
=
21
{\displaystyle {\begin{aligned}\langle {\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}}\rangle _{\mathrm {F} }&=2\cdot 8+0\cdot (-3)+6\cdot 2+1\cdot 4+(-1)\cdot 1+2\cdot (-5)\\&=21\end{aligned}}}
Pro dvě čtvercové komplexní matice řádu
2
{\displaystyle 2}
A
=
(
1
+
i
−
2
i
3
−
5
)
{\displaystyle {\boldsymbol {A}}={\begin{pmatrix}1+\mathrm {i} &-2\mathrm {i} \\3&-5\end{pmatrix}}}
B
=
(
−
2
3
i
4
−
3
i
6
)
{\displaystyle {\boldsymbol {B}}={\begin{pmatrix}-2&3\mathrm {i} \\4-3\mathrm {i} &6\end{pmatrix}}}
platí
⟨
A
,
B
⟩
F
=
(
1
+
i
)
⋅
(
−
2
)
+
(
−
2
i
)
⋅
(
−
3
i
)
+
3
⋅
(
4
+
3
i
)
+
(
−
5
)
⋅
6
=
−
26
+
7
i
{\displaystyle {\begin{aligned}\langle {\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}}\rangle _{\mathrm {F} }&=(1+\mathrm {i} )\cdot (-2)+(-2\mathrm {i} )\cdot (-3\mathrm {i} )+3\cdot (4+3\mathrm {i} )+(-5)\cdot 6\\&=-26+7\mathrm {i} \end{aligned}}}
zatímco
⟨
B
,
A
⟩
F
=
(
−
2
)
⋅
(
1
−
i
)
+
3
i
⋅
2
i
+
(
4
−
3
i
)
⋅
3
+
6
⋅
(
−
5
)
=
−
26
−
7
i
{\displaystyle {\begin{aligned}\langle {\boldsymbol {B}},{\boldsymbol {A}}\rangle _{\mathrm {F} }&=(-2)\cdot (1-\mathrm {i} )+3\mathrm {i} \cdot 2\mathrm {i} +(4-3\mathrm {i} )\cdot 3+6\cdot (-5)\\&=-26-7\mathrm {i} \end{aligned}}}
Frobeniův skalární součin matice
A
{\displaystyle {\boldsymbol {A}}}
B
{\displaystyle {\boldsymbol {B}}}
⟨
A
,
A
⟩
F
=
2
+
4
+
9
+
25
=
40
{\displaystyle \langle {\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {A}}\rangle _{\mathrm {F} }=2+4+9+25=40}
⟨
B
,
B
⟩
F
=
4
+
9
+
25
+
36
=
74
{\displaystyle \langle {\boldsymbol {B}},{\boldsymbol {B}}\rangle _{\mathrm {F} }=4+9+25+36=74}
Komplexní Frobeniův skalární součin je seskvilineární forma , neboli lineární v prvním argumentu:
⟨
A
+
B
,
C
⟩
F
=
⟨
A
,
C
⟩
F
+
⟨
B
,
C
⟩
F
{\displaystyle \langle {\boldsymbol {A}}+{\boldsymbol {B}},{\boldsymbol {C}}\rangle _{\mathrm {F} }=\langle {\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {C}}\rangle _{\mathrm {F} }+\langle {\boldsymbol {B}},{\boldsymbol {C}}\rangle _{\mathrm {F} }}
⟨
c
A
,
B
⟩
F
=
c
⟨
A
,
B
⟩
F
{\displaystyle \langle c{\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}}\rangle _{\mathrm {F} }=c\langle {\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}}\rangle _{\mathrm {F} }}
a také semilineární v druhém argumentu, tedy.
⟨
A
,
B
+
C
⟩
F
=
⟨
A
,
B
⟩
F
+
⟨
A
,
C
⟩
F
{\displaystyle \langle {\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}}+{\boldsymbol {C}}\rangle _{\mathrm {F} }=\langle {\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}}\rangle _{\mathrm {F} }+\langle {\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {C}}\rangle _{\mathrm {F} }}
⟨
A
,
c
B
⟩
F
=
c
¯
⟨
A
,
B
⟩
F
{\displaystyle \langle {\boldsymbol {A}},c{\boldsymbol {B}}\rangle _{\mathrm {F} }={\overline {c}}\langle {\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}}\rangle _{\mathrm {F} }}
Dále je hermitovská forma, neboli
⟨
A
,
B
⟩
F
=
⟨
B
,
A
⟩
F
¯
{\displaystyle \langle {\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}}\rangle _{\mathrm {F} }={\overline {\langle {\boldsymbol {B}},{\boldsymbol {A}}\rangle _{\mathrm {F} }}}}
a také pozitivně definitní :
⟨
A
,
A
⟩
F
≥
0
{\displaystyle \langle {\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {A}}\rangle _{\mathrm {F} }\geq 0}
⟨
A
,
A
⟩
F
=
0
⇔
A
=
0
{\displaystyle \langle {\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {A}}\rangle _{\mathrm {F} }=0\Leftrightarrow {\boldsymbol {A}}=0}
Uvedené vlastnosti vyplývají přímo z komutativních a distributivních zákonů sčítání a násobení a z pozitivní definitnosti komplexní absolutní hodnoty
|
z
|
2
=
z
¯
z
{\displaystyle |z|^{2}={\bar {z}}z}
Z komplexního případu bezprostředně plyne reálný případ, protože na
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
Reálný Frobeniův skalární součin má následující reprezentaci pomocí stopy matice
⟨
A
,
B
⟩
F
=
tr
(
A
T
B
)
=
tr
(
B
A
T
)
{\displaystyle \langle {\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}}\rangle _{\mathrm {F} }=\operatorname {tr} ({\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {B}})=\operatorname {tr} ({\boldsymbol {B}}{\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} })}
kde
A
T
{\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }}
transponovaná k
A
{\displaystyle {\boldsymbol {A}}}
⟨
A
,
B
⟩
F
=
tr
(
A
H
B
)
=
tr
(
B
A
H
)
{\displaystyle \langle {\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}}\rangle _{\mathrm {F} }=\operatorname {tr} ({\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }{\boldsymbol {B}})=\operatorname {tr} ({\boldsymbol {B}}{\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} })}
kde
A
H
{\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }}
hermitovská transpozice matice
A
{\displaystyle {\boldsymbol {A}}}
Reálný Frobeniův skalární součin má následující vlastnost pro všechny
A
∈
R
l
×
m
,
B
∈
R
m
×
n
{\displaystyle {\boldsymbol {A}}\in \mathbb {R} ^{l\times m},{\boldsymbol {B}}\in \mathbb {R} ^{m\times n}}
C
∈
R
l
×
n
{\displaystyle {\boldsymbol {C}}\in \mathbb {R} ^{l\times n}}
⟨
A
B
,
C
⟩
F
=
tr
(
C
(
A
B
)
T
)
=
tr
(
C
B
T
A
T
)
=
⟨
A
,
C
B
T
⟩
F
=
⟨
B
,
A
T
C
⟩
F
{\displaystyle \langle {\boldsymbol {AB}},{\boldsymbol {C}}\rangle _{\mathrm {F} }=\operatorname {tr} ({\boldsymbol {C}}({\boldsymbol {AB}})^{\mathrm {T} })=\operatorname {tr} ({\boldsymbol {C}}{\boldsymbol {B}}^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} })=\langle {\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {CB}}^{\mathrm {T} }\rangle _{\mathrm {F} }=\langle {\boldsymbol {B}},{\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {C}}\rangle _{\mathrm {F} }}
Odpovídajícím způsobem platí pro komplexní Frobeniův skalární součin pro všechny
A
∈
C
l
×
m
,
B
∈
C
m
×
n
{\displaystyle {\boldsymbol {A}}\in \mathbb {C} ^{l\times m},{\boldsymbol {B}}\in \mathbb {C} ^{m\times n}}
C
∈
C
l
×
n
{\displaystyle {\boldsymbol {C}}\in \mathbb {C} ^{l\times n}}
⟨
A
B
,
C
⟩
F
=
⟨
A
,
C
B
H
⟩
F
=
⟨
B
,
A
H
C
⟩
F
{\displaystyle \langle {\boldsymbol {AB}},{\boldsymbol {C}}\rangle _{\mathrm {F} }=\langle {\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {CB}}^{\mathrm {H} }\rangle _{\mathrm {F} }=\langle {\boldsymbol {B}},{\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }{\boldsymbol {C}}\rangle _{\mathrm {F} }}
Obě vlastnosti vyplývají ze zachování stopy vzhledem k cyklickým permutacím součinu matic.
Vzhledem ke stopové reprezentaci a vlastnosti posunutí platí následující pro reálný Frobeniův skalární součin dvou matic
A
,
B
∈
R
m
×
n
{\displaystyle {\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}}\in \mathbb {R} ^{m\times n}}
⟨
A
,
B
⟩
F
=
⟨
A
T
,
B
T
⟩
F
{\displaystyle \langle {\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}}\rangle _{\mathrm {F} }=\langle {\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} },{\boldsymbol {B}}^{\mathrm {T} }\rangle _{\mathrm {F} }}
Pro komplexní Frobeniův skalární součin dvou matic
A
,
B
∈
C
m
×
n
{\displaystyle {\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}}\in \mathbb {C} ^{m\times n}}
⟨
A
,
B
⟩
F
¯
=
⟨
A
H
,
B
H
⟩
F
{\displaystyle {\overline {\langle {\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}}\rangle _{\mathrm {F} }}}=\langle {\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} },{\boldsymbol {B}}^{\mathrm {H} }\rangle _{\mathrm {F} }}
Frobeniova norma je invariantní při unitárních transformacích a platí pro ni Cauchyho-Schwarzova nerovnost .
|
⟨
A
,
B
⟩
F
|
≤
‖
A
‖
F
‖
B
‖
F
{\displaystyle |\langle {\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}}\rangle _{\mathrm {F} }|\leq \|{\boldsymbol {A}}\|_{\mathrm {F} }\,\|{\boldsymbol {B}}\|_{\mathrm {F} }}
Z nerovnosti vyplývá odhad
|
⟨
A
,
B
⟩
F
|
2
≤
tr
(
A
H
A
)
⋅
tr
(
B
H
B
)
{\displaystyle |\langle {\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}}\rangle _{\mathrm {F} }|^{2}\leq \operatorname {tr} ({\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }{\boldsymbol {A}})\cdot \operatorname {tr} ({\boldsymbol {B}}^{\mathrm {H} }{\boldsymbol {B}})}
V případě reálných matic je hermitovská transpozice nahrazena prostou transpozicí.
Jsou-li
σ
1
(
A
)
,
…
,
σ
r
(
A
)
{\displaystyle \sigma _{1}({\boldsymbol {A}}),\ldots ,\sigma _{r}({\boldsymbol {A}})}
singulární hodnoty
A
{\displaystyle {\boldsymbol {A}}}
σ
1
(
B
)
,
…
,
σ
r
(
B
)
{\displaystyle \sigma _{1}({\boldsymbol {B}}),\ldots ,\sigma _{r}({\boldsymbol {B}})}
B
{\displaystyle {\boldsymbol {B}}}
r
=
min
{
m
,
n
}
{\displaystyle r=\min\{m,n\}}
|
⟨
A
,
B
⟩
F
|
≤
∑
i
=
1
r
σ
i
(
A
)
σ
i
(
B
)
≤
‖
A
‖
F
‖
B
‖
F
{\displaystyle |\langle {\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}}\rangle _{\mathrm {F} }|\leq \sum _{i=1}^{r}\sigma _{i}({\boldsymbol {A}})\sigma _{i}({\boldsymbol {B}})\leq \|{\boldsymbol {A}}\|_{\mathrm {F} }\,\|{\boldsymbol {B}}\|_{\mathrm {F} }}
Uvedený odhad zesiluje Cauchyho-Schwarzovu nerovnost .[ 1]
