Transpozice matice

matice s prohozenými řádky a sloupci
(přesměrováno z Transponovaná matice)

V lineární algebře se matice, která vznikne z matice vzájemnou výměnou řádků a sloupců, nazývá matice transponovaná k matici a obvykle se značí . [1] Odpovídající operace je tzv. transpozice matice.

Transponovanou matici k matici lze získat převrácením prvků podél její hlavní diagonály. Opakovaná operace transpozice na transponované matici vrátí prvky do původní polohy.

Transpozici matice zavedl v roce 1858 britský matematik Arthur Cayley. [2] Reprezentuje-li matice binární relaci, pak její transpozice odpovídá inverzní relaci.

Definice

editovat

Matici transponovanou k matici   lze získat libovolnou z následujících metod:

  1. Převrácením   podél její hlavní diagonály nebo
  2. zápisem řádků   do sloupců  nebo
  3. zápisem sloupců   do řádků  .

Formálně, pro jednotlivé prvky transponované matice platí:

 

Pokud má matice   rozměry  , pak její transpozicí vznikne matice o rozměrech  .

Symbol   je rezervován pro označení transpozice a neměl by být zaměňován s jiným významem horního indexu, jako např. název proměnné   ve výrazu  , znamenajícím  -tou mocninu čtvercové matice  .

Ukázky

editovat
  • Transpozicí matice   vznikne  .
  •  

Definice matic využívající transpozici

editovat

Čtvercová matice, jenž je rovna své transpozici, se nazývá symetrická matice; čili   je symetrická, pokud

 .

Čtvercová matice, jenž je rovna záporu své transpozice, se nazývá antisymetrická matice; čili   je antisymetrická, pokud

 .

Čtvercová komplexní matice, jejíž transpozice je rovna matici, kde každý prvek je nahrazen k němu komplexně sdruženým číslem, se nazývá hermitovská matice; čili   je hermitovská, pokud

 .

Čtvercová matice, jejíž transpozice se shoduje s její inverzní matici, se nazývá ortogonální matice; čili   je ortogonální, pokud

 .

Vlastnosti

editovat
  • Dvojitá transpozice matice je opět původní matice:
 ,
neboli operace transpozice je involuce.
  • Skalární násobek lze vytknout před operaci transpozice:
 
neboli transpozice zachovává skalární násobek matic.
  • Transpozice součtu matic je součtem transponovaných matic:
 
neboli transpozice zachovává součet matic.
  • Transpozice součinu dvou matic je součinem transponovaných matic v obráceném pořadí:
 
Indukcí lze tento vztah rozšířit na součin více matic:  
  • Z předchozího vztahu vyplývá, že čtvercová matice   je regulární, právě když je regulární  . V tomto případě platí, že transpozice inverzní matice je rovna inverzi transponované matice:
 
  • Skalární součin dvou reálných sloupcových vektorů   a   lze spočítat jako jediný prvek maticového součinu:
 
  • Determinant čtvercové matice se transpozicí nezmění:
 
  • Vlastní čísla čtvercové matice   se shodují s vlastními čísly její transpozice  , protože obě matice mají totožný charakteristický polynom.
  • Pro libovolnou matici platí, že obě matice   i   jsou symetrické. Symetrie matice  prostě plyne ze skutečnosti, že je sama sobě transpozicí:
 .
  • Je-li navíc   reálná matice, pak obě matice   i   jsou pozitivně semidefinitní.

Implementace maticové transpozice na počítačích

editovat
 
Ilustrace řádkového a sloupcového pořadí prvků matice

Na počítači se lze často vyhnout výpočtu a ukládání transpozice matice v paměti pouhým přístupem ke stejným datům, ale jen v jiném pořadí. Například softwarové knihovny pro lineární algebru, jako je BLAS, obvykle poskytují možnosti, jak určit, že určité matice mají být interpretovány v transponovaném pořadí, aby se předešlo nutnosti přesunu dat.

V řadě případů je však nutné nebo žádoucí fyzicky přeuspořádat matici v paměti na její transpozici. Například s maticí uloženou v pořadí po řádcích jsou řádky matice v paměti souvislé a sloupce nesouvislé. Pokud je třeba provádět opakované operace se sloupci, například v rychlé Fourierově transformaci, může transpozice matice v paměti (aby sloupce byly souvislé) zrychlit výpočet díky principu lokality paměti.

Ve výpočtech je vhodné provádět transpozici matici s minimálními dodatečnými paměťovými nároky. To vede k problému transpozice matice typu   na místě, neboli s dodatečnou pamětí konstantní velikosti, případně o velikosti mnohem menší než udává součin   odpovídající alokaci paměti pro celou transponovanou matici. V případě, že  , jde o složitou permutaci uložených dat, jejíž implementace na místě není triviální. Efektivní transpozice matice na místě se stala předmětem četných výzkumných publikací v teoretické informatice už koncem 50. let 20. století.

Reference

editovat

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Transpose na anglické Wikipedii.

  1. ČSN EN ISO 80000-2 (011300). Veličiny a jednotky - Část 2: Matematika. Česká agentura pro standardizaci, 2020-11-01. detail.
  2. Arthur Cayley (1858) "A memoir on the theory of matrices", Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 148 : 17–37. Matice transponovaná (neboli "transpozice") je definována na str. 31.

Literatura

editovat
  • Slovník školské matematiky. Praha: SPN, 1981. 240 s. 
  • BÄRTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce. Praha: Academia, 2006. 832 s. ISBN 80-200-1448-9. Kapitola Matice, s. 180–198. 
  • HLADÍK, Milan. Lineární algebra (nejen) pro informatiky. 1.. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 328 s. ISBN 978-80-7378-378-5. 
  • OLŠÁK, Petr. Lineární algebra [online]. Praha: 2007 [cit. 2023-02-20]. Dostupné online. 

Související články

editovat

Externí odkazy

editovat