Eukleidovský obor

Eukleidovský obor (nebo eukleidovský okruh) je v algebře (či speciálněji v teorii okruhů) takový obor integrity, ve kterém je díky existenci eukleidovské funkce zajištěna funkčnost Eukleidova algoritmu. Jedná se o algoritmus na nalezení největšího společného dělitele pojmenovaný po starořeckém matematikovi Eukleidovi, který byl původně vymyšlený jen pro celá čísla, nicméně lze ho využít i v některých jiných okruzích.

Platí, že každý eukleidovský obor je zároveň oborem hlavních ideálů. V každém eukleidovském oboru platí patřičná varianta Základní věty aritmetiky. Zároveň zde lze nejen nalézt největšího společného dělitele, ale také pomocí rozšířeného Eukleidova algoritmu nalézt jeho vyjádření Bézoutovou rovností jako lineární kombinace prvků, jejichž největšího společného dělitele hledáme.

Formální definice

Pro obor integrity R se jako eukleidovská funkce označuje taková funkce $\scriptstyle f:R\setminus \{0\}\rightarrow \mathbb {N}$ , která splňuje podmínky:

• Pro všechna $a,b\in R$, kde b je nenulové, existují $q,r\in R$ taková, že a =bq + r a buď je r = 0, nebo $f(r)\leq f(b)$
• Pro všechna nenulová a a b z R platí, že $f(a)\leq f(ab)$

Eukleidovský obor je takový obor, na kterém lze definovat alespoň jednu eukleidovskou funkci.

Poznámky k definici

Stejně dobře by fungovala definice, která by vyžadovala existenci funkce splňující pouze první podmínku. Pokud totiž existuje taková funkce g, pak lze pro splnění definice výše sestrojit funkci f takto:

$f(a)=\min _{x\in R\setminus \{0\}}g(xa)$,

tady tak, že pro prvek a je hodnota f definována jako nejmenší z hodnot g pro nenulové prvky hlavního ideálu generovaného a.

Příklady

Příklady euklidovských oborů:

• Jakékoliv těleso. Vyhovující definice f je f(x) = 1 pro nenulová x.
• Z, okruh celých čísel. Vyhovující definice f je f(n) = |n| pro nenulová n, tedy absolutní hodnota
• Z[i], okruh Gaussových čísel. Vyhovující definice je f(a + bi) = a² + b²
• Z[ω] (kde ω značí třetí odmocninu z 1), neboli okruh Eisensteinových čísel. Vyhovující definice f je f(a + bω) = a² − ab + b²
• T[x], tedy polynomiální okruh nad tělesem T. Možná definici f má tu podobu, že každému nenulovému mnohočlenu přiřazuje jeho stupeň.

Literatura

• KUROŠ, Alexandr Gennaďjevič. Kapitoly z obecné algebry. Praha: Academia, 1977.