Pseudoinverze matice

konstrukce lineární algebry

Pseudoinverzní matice nebo též zobecněná inverze se používá ke zobecnění pojmu inverzní matice v případech, kdy matice je čtvercová singulární, nebo obdélníková, tedy v případech, kdy klasická inverze neexistuje. Pojem inverze lze zobecnit mnoha různými způsoby. V praxi se nejčastěji setkáme s tzv. Mooreovou–Penroseovou pseudoinverzí, kterou poprvé zavedli Moore (1920) a Penrose (1931) a obvykle se značí .

Mooreova–Penroseova pseudoinverze

editovat

Definice

editovat

Mooreovou–Penroseovou pseudoinverzí matice   nazveme matici, která je jednoznačným řešením soustavy čtyř (nelineárních) rovnic

(1)  
(2)  
(3)  
(4)  

tzv. Mooreových–Penroseových podmínek. Mooreovu–Penroseovu pseudoinverzi značíme  . (Všimněme si, že pro čtvercovou regulární matici a její inverzi jsou všechny podmínky splněny triviálně.)

Výpočet, alternativní definice

editovat

Nechť  ,  . Uvažujme singulární rozklad

 

kde

 

pak

 

Snadno ověříme, že takto zvolená matice splňuje všechny čtyři podmínky.

Vlastnosti

editovat

Chápeme-li původní matici jako lineární zobrazení   a provedeme-li jeho restrikci na  , kde je bijektivní, pak Mooreova–Penroseova pseudoinverze reprezentuje jeho inverzi.

Má-li matice   lineárně nezávislé sloupce, pak   je regulární a

 

má-li naopak lineárně nezávislé řádky, pak   je regulární a

 

Zřejmě, je-li matice regulární (speciálně má lineárně nezávislé řádky i sloupce), pak

 

Využití

editovat

Uvažujme lineární aproximační problém

 

pak

 

je řešení ve smyslu nejmenších čtverců, má-li matice   lineárně závislé sloupce, pak je to navíc řešení minimální v normě. Tedy,

 

navíc   má minimální normu mezi všemi  , které výraz vlevo minimalizují.


Další zobecněné inverze odvozené od Mooreových–Penroseových podmínek

editovat

Uvažujme Mooreovy–Penroseovy podmínky očíslované tak jak je uvedeno výše. Pro zobecnění pojmu inverzní matice není nezbytně nutné vyžadovat splnění všech čtyř podmínek. Následující zobecněné inverze jsou pojmenované a označené podle toho, které z podmínek splňují:

  • (1)-inverze, značíme  ,
  • (1,2)-inverze, značíme  ,
  • (1,2,3)-inverze, značíme  ,
  • (1,2,4)-inverze, značíme  ,
  • (1,2,3,4)-inverze, značíme  .

Uvažujeme-li shora uvedený singulární rozklad matice  , pak platí

 

pro libovolné matice  ,  ,  .

(1,2)-inverze je taková (1)-inverze, pro kterou platí  .

 

(1,2,3)-inverze je taková (1,2)-inverze, pro kterou  , tedy

 

(1,2,4)-inverze je taková (1,2)-inverze, pro kterou  , tedy

 

(1,2,3,4)-inverze je výše zmíněná Mooreova–Penroseova pseudoinverze.

V obecném případě je zřejmě (1,2,3,4)-inverze jediná zobecněná inverze z výše uvedených, která je dána jednoznačně.

Drazinova, grupová a spektrální zobecněná inverze

editovat

Je-li navíc matice   čtvercová (singulární), lze zobecnit i další vztahy, které klasická inverze přirozeně splňuje, například

(1k)  
(5)    
(5k)  
(6k)  

Drazinova inverze

editovat

Zobecněná inverzní matice, dle předchozí konvence (1k,2,5)-inverze, je tzv. Drazinova inverze. Podmínky (1k), (2) a (5) jsou ekvivalentní podmínkám

 

Grupová inverze

editovat

Drazinova inverze pro  , tedy (1,2,5)-inverze, se nazývá grupová inverze a značí se  .

Spektrální inverze

editovat

Je-li čtvercová singulární matice   diagonalizovatelná, tj.  , kde   je diagonální s vlastními čísly na diagonále. Zobecněnou inverzi můžeme definovat pomocí vztahu

 

Tato inverze zřejmě splňuje podmínky (1), (2), (5), je tedy grupovou inverzí, a nazývá se spektrální inverze.

Je-li navíc matice   normální, tj.  ,   pak její spektrální inverze a Mooreova–Penroseova pseudoinverze splývají.

Literatura

editovat
  • Adi Ben-Israel, Thomas N. E. Greville, Generalized inverses, Theory and a applications, Springer Verlag, Berlin, 2003 (Second Edition).
  • M. Zuhair Nashed (Ed.), Generalized inverses and applications, Academic Press, New York, 1976.

Související články

editovat

Externí odkazy

editovat