Velké kardinály

Velké kardinály či velká kardinální čísla je v teorii množin souhrnné označení pro kardinální čísla, jejichž existence je nezávislá na axiomech Zermelovy–Fraenkelovy teorie s axiomem výběru (ZFC). Existence či neexistence každého z těchto čísel má v ZF závažné důsledky týkající se zejména nekonečné kombinatoriky. Často však přijetí axiomu postulujícího existenci nějakého velkého kardinálu zásadně ovlivňuje vlastnosti o kardinálech malých ( $\aleph _{1},\aleph _{2},$ …).

Pojem „velký kardinál“ není exaktní pojem ve smyslu „kardinál se nazývá velký, právě když pro něj platí...“. Je to souhrnný pojem pro mnoho exaktních definic - měřitelný kardinál, nedosažitelný kardinál, slabě kompaktní kardinál atd. - které mají řadu společných rysů, mj.:

Existence takových kardinálů není (nebo alespoň není známo, že by byla) ani dokazatelná, ani vyvratitelná ze ZFC, je-li ZFC konzistentní.
U mnohých z nich má jejich (ne)existence velký vliv na chování běžně studovaných objektů : funkcí, topologických prostorů atd.
- Například z existence některých velkých kardinálů plyne, že existuje model ZF, a tedy že neexistuje přirozené číslo reprezentující důkaz sporu v ZF. Věta o úplnosti totiž dokazuje, že sporná teorie nemůže mít model. Existence takového kardinálu tedy významně ovlivňuje vlastnosti tak „malé a přehledné“ množiny, jako jsou přirozená čísla.

Historie

Počátky studia velkých kardinálů sahají do poloviny 20. století, kdy začaly být zkoumány Alfredem Tarskim a později jeho žáky.

Vztahy mezi velkými kardinály

Je jistě zajímavé, že velké kardinály jsou téměř lineárně uspořádány relací inkluze (a ještě „lineárněji“ relací relativní bezespornosti existence), a to přesto, že pocházejí často z velmi vzdálených částí matematiky.

Seznam velkých kardinálů

V následujícím výčtu jsou velké kardinály seřazeny podle velikosti od nejmenšího (v některých případech není přesné zařazení dle velikosti známo, pak je příslušný kardinál uveden někde v oblasti nejužšího známého omezení):

Kunenova bariéra (strop pro velké kardinály nezávislé na ZFC)

Reinhardtův kardinál (jeho existence je ve sporu s axiomem výběru, pouze v ZF však vyvratitelná není)