Uzávěr množiny

Uzávěr množiny (anglicky closure) je nejmenší uzavřená množina topologického prostoru, která danou množinu obsahuje. Uzávěr $M$ značíme většinou ${\overline {M}}$, popř. $\mathrm {cl} \,M$.

Neformální úvod

Pojem uzavřená množina lze názorně definovat na reálných číslech nebo v Euklidovském prostoru, abstraktněji v metrických prostorech a ještě obecněji v topologickém prostoru.

Níže uvedená definice a vlastnosti platí pro každou z právě vyjmenovaných situací.

Definice

Průnik všech uzavřených množin topologického prostoru $X$, které obsahují $M$ jako svou podmnožinu, nazveme uzávěr množiny $M$, značíme ${\overline {M}}$.

${\overline {M}}=\bigcap \{U\subseteq X:U$ je uzavřená $\land M\subseteq U\}$

Ekvivalentně lze definovat uzávěr množiny $M$ jako množinu ${\overline {M}}$ všech bodů topologického prostoru, jejichž libovolné okolí $U$ má neprázdný průnik s $M$.

${\overline {M}}=\{x\in X:\forall U(x)\quad U(x)\cap M\neq \emptyset \}$

Vnitřní a vnější body

Uzávěr množiny $\mathbf {A} \subset \mathbf {M}$ metrického prostoru $(\mathbf {M} ,\rho )$ lze také vyjádřit s pomocí rozdílu množin jako $\mathbf {M} \backslash \mathrm {int} (\mathbf {M} \backslash \mathrm {A} )$, kde $\mathrm {int} \mathbf {X}$ označuje vnitřek množiny $\mathbf {X}$.

Vnitřek množiny tvoří množina všech vnitřních bodů. Bod $a\in \mathbf {X}$ označíme jako vnitřní bod množiny $\mathbf {X} \subseteq \mathbf {M}$, pokud existuje takové $r>0$, že pro množinu $\mathbf {B} (a,r)=\{x\in \mathbf {M} :\rho (a,x)<r\}$ platí $\mathbf {B} (a,r)\subset \mathbf {X}$.

Pokud platí $\mathbf {X} =\mathrm {int} \mathbf {X}$, pak se množina $\mathbf {X}$ nazývá otevřená (v metrice $\rho$).

Pro množiny $\mathbf {A} \subset \mathbf {M} ,\mathbf {B} \subset \mathbf {M}$ metrického prostoru $(\mathbf {M} ,\rho )$ platí vztahy

• $\mathrm {int} \mathbf {A} \subset \mathbf {A}$
• $\mathrm {int} \,\mathrm {int} \mathbf {A} =\mathrm {int} \mathbf {A}$
• $\mathrm {int} (\mathbf {A} \cap \mathbf {B} )=\mathbf {A} \cap \mathbf {B}$
• $\mathrm {int} (\mathbf {A} \cup \mathbf {B} )\subset \mathbf {A} \cup \mathbf {B}$
• pokud $\mathbf {A} \subset \mathbf {B}$, pak platí také $\mathrm {int} \mathbf {A} \subset \mathrm {int} \mathbf {B}$
• každá otevřená podmnožina množiny $\mathbf {A}$ je podmnožinou $\mathrm {int} \mathbf {A}$
• množinu $\mathrm {int} \mathbf {A}$ získáme jako sjednocení všech otevřených podmnožin množiny $\mathbf {A}$.

Je-li $\mathbf {A} \subset \mathbf {M}$ částí metrického prostoru $(\mathbf {M} ,\rho )$, pak vnitřek množiny $\mathbf {M} \backslash \mathbf {A}$ nazveme vnějškem množiny $\mathbf {A}$. Body nacházející se ve vnějšku $\mathbf {A}$ nazýváme vnějšími body množiny $\mathbf {A}$.

Pokud existuje takové okolí $\mathbf {U}$ bodu $a\in \mathbf {A}$, že $\mathbf {U} \cap \mathbf {A} =\{a\}$, pak bod a nazýváme izolovaným bodem.

Jestliže každé okolí bodu $x\in \mathbf {M}$ obsahuje prvek množiny $\mathbf {A} \subseteq \mathbf {M}$ různý od x, pak bod x se nazývá hromadným bodem množiny $\mathbf {A}$.

Bod uzávěru je hromadným bodem množiny $\mathbf {A}$ (pokud se nejedná o izolovaný bod).

Vlastnosti uzávěru

• Z toho, že průnik libovolného počtu uzavřených množin je uzavřená množina, je i uzávěr množiny uzavřená množina. Naopak platí, že množina je uzavřená pravě tehdy, když je rovna svému uzávěru, tzn. ${\overline {\mathbf {M} }}=\mathbf {M}$.

• Uzávěr prázdné množiny je prázdná množina.

• Uzávěr celého $X$ je $X$, tzn. ${\overline {X}}=X$.
• Pro $\mathbf {A} \subseteq \mathbf {X} ,\mathbf {B} \subseteq \mathbf {X}$ platí
  • $\mathbf {A} \subseteq {\overline {\mathbf {A} }}$
  • ${\overline {\overline {\mathbf {A} }}}={\overline {\mathbf {A} }}$
  • ${\overline {(\mathbf {A} \cap \mathbf {B} )}}\subseteq {\overline {\mathbf {A} }}\cap {\overline {\mathbf {B} }}$ (Ale pozor: obrácená inkluze obecně neplatí! Zvažme například situaci $X=\mathbb {R} ,\,\mathbf {A} =[0,1)$ a $\mathbf {B} =[1,2]$.)
  • ${\overline {(\mathbf {A} \cup \mathbf {B} )}}={\overline {\mathbf {A} }}\cup {\overline {\mathbf {B} }}$
  • pokud $\mathbf {A} \subseteq \mathbf {B}$, pak ${\overline {\mathbf {A} }}\subseteq {\overline {\mathbf {B} }}$
  • je-li $\mathbf {A}$ je podmnožinou uzavřené množiny $\mathbf {B}$, pak ${\overline {\mathbf {A} }}\subseteq \mathbf {B}$

Související články

• Vnitřek množiny
• Otevřená množina

Portály: Matematika