Stefanův–Boltzmannův zákon

Stefanův–Boltzmannův zákon publikovaný roku 1879 Ludwigem Boltzmannem a Jožefem Stefanem popisuje celkovou intenzitu záření absolutně černého tělesa. Tento zákon říká, že intenzita vyzařování roste se čtvrtou mocninou termodynamické teploty zářícího tělesa.

I=\sigma T^{4}

I – celková intenzita záření (podíl výkonu a plochy) [W·m⁻²]
$\sigma =5{,}670\,374\,419\cdot 10^{-8}{\rm {W\,m^{-2}\,K^{-4}}}$ – Stefanova–Boltzmannova konstanta
T – termodynamická teplota [K]

Pro „šedé těleso“ lze Stefanův–Boltzmannův zákon psát jako

I=\epsilon \sigma T^{4}

kde $\epsilon$ je emisivita povrchu tělesa.

Tabulka

Tabulka ukazuje příklady hodnot měrného výkonu (intenzity záření) pro některé teploty:

Teplota [°C]	Teplota [K]	Intenzita [W·m⁻²]	Poznámka
0	273,15	315,6	teplota tání ledu
100	373,15	1100	teplota varu vody
120,85	394	1366	solární konstanta ve vzdálenosti 1 AU od Slunce, tuto teplotu by měla černá deska kolmá ke Slunci, kdyby mohla vyzařovat jen osluněnou stranou
5507	5780	6,33×10⁷	povrch Slunce

Odvození

Vyjdeme z Planckova vyzařovacího zákona:

{\rm {d}}I(\omega )={\frac {\hbar }{4\pi ^{2}c^{2}}}{\frac {\omega ^{3}}{e^{\frac {\hbar \omega }{kT}}-1}}\mathrm {d} \omega

,

v němž veličina $I(\omega )$ je intenzita záření absolutně černého tělesa na dané frekvenci $\omega$ . Celkovou intenzitu záření $I$ vyzařovanou napříč spektrem pak získáme integrací přes všechny možné úhlové frekvence záření:

I=\int _{0}^{+\infty }{\frac {\mathrm {d} I(\omega )}{\mathrm {d} \omega }}\mathrm {d} \omega ={\frac {\hbar }{4\pi ^{2}c^{2}}}\int _{0}^{+\infty }{\frac {\omega ^{3}\mathrm {d} \omega }{e^{\frac {\hbar \omega }{kT}}-1}}

.

Integrál v tomto výrazu zjednodušíme substitucí $x={\frac {\hbar \omega }{kT}}$ , podle které $\omega ={\frac {kT}{\hbar }}x$ a $\mathrm {d} \omega ={\frac {kT}{\hbar }}\mathrm {d} x$ :