Rovnice vedení tepla
Ve fyzice je rovnice vedení tepla difuzní rovnicí vyjadřující difuzi tepla v materiálu. Na rozdíl od klasické difuzní rovnice však rovnice vedení tepla nepracuje s hustotou veličiny podléhající difuzi, ale vyjadřovacím prostředkem rovnice vedení tepla je lépe měřitelná a do jisté míry ekvivalentní veličina, teplota. V matematice rovnici vedení tepla často chápeme obecněji v prostoru libovolné konečné dimenze a zpravidla předpokládáme, že transformací souřadné soustavy a vhodnou volbou jednotek je rovnice převedena na tvar bez smíšených derivací a bez fyzikálních konstant. Proto má v matematické literatuře rovince vedení tepla poněkud jiný tvar než v literatuře fyzikální.
Matematická rovnice vedení tepla
editovatMatematická formulace rovnice nestacionárního vedení tepla je
Je běžné označovat jako „čas“ a jako „prostorové proměnné“, a to i v abstraktních kontextech, kde tyto pojmy nemají svůj intuitivní význam. Diferenciální operátor na pravé straně je Laplacián.
Fyzikální rovnice vedení tepla
editovatVe fyzikálních a inženýrských aplikacích má rovnice vedení tepla tvar
Homogenní izotropní materiál
editovatPro homogenní izotropní materiál a součinitel tepelné vodivosti nezávislý na teplotě se rovnice redukuje na
Anizotropní materiál
editovatPro anizotropní materiál je součinitel tepelné vodivosti obecně tenzorem druhého řádu a v kartézských souřadnicích má rovnice vedení tepla tvar
Vedení tepla v homogenní tyči
editovatPro jednorozměrnou tyč se rovnice vedení tepla redukuje na
Započtení tepelných zdrojů nebo spotřebičů
editovatRovnici vedení tepla je možno doplnit i členem vyjadřujícím ztráty nebo generování tepla. Například u jednorozměrné rovnice vedení tepla se ztrátami vyzařováním je možné ztráty modelovat podle Stefan-Boltzmannova zákona členem , kde je teplota okolí a je koeficient, který závisí na fyzikálních vlastnostech materiálu. Rovnice má poté tvar
Fyzikální interpretace členů rovnice vedení tepla
editovatPro fyzikální interpretaci (například pro jednorozměrný případ) je vhodnější uvažovat rovnici ve tvaru
- Derivace teploty podle času udává, jak rychle roste teplota v čase (pro dané místo a daný okamžik).
- Levá strana rovnice udává, jak rychle roste tepelná energie v jednotkovém množství materiálu (tj. na jednotku délky).
- Derivace teploty podle prostorové souřadnice je jednorozměrný gradient a udává, jak prudce na jednotku délky roste teplota ve směru souřadné osy.
- Výraz podle Fourierova zákona udává tok tepla, tj. množství tepla, které projde průřezem tyče za jednotku času ve směru souřadné osy.
- Výraz udává nárůst toku tepla ve směru souřadné osy na jednotkové délce.
- Výraz udává pokles toku tepla ve směru souřadné osy na jednotkové délce. Rovnice vyjadřuje, že úbytek v toku tepla v daném místě se "použije" na zvýšení teploty materiálu v tomto místě.
Poznámky
editovat- Rovnice vedení tepla nepředpokládá pohyb prostředí. V případě vedení tepla v pohybujícím se mediu je možné doplnit rovnici dalším členem, který podchycuje efekt přenosu tepla vlivem pohybu prostředí.
Reference
editovatV tomto článku byl použit překlad textu z článku Heat equation na anglické Wikipedii.
Související články
editovatExterní odkazy
editovat- Obrázky, zvuky či videa k tématu Rovnice vedení tepla na Wikimedia Commons