Ohyb

Ohyb charakterizuje chování prvku (například stavebního či strojního) v závislosti na vnějším zatížení, které působí kolmo na podélnou osu elementu. Ohyb je možné reprezentovat jako dvojice působení podélného tahového a tlakového namáhání, mezilehlá osa, která namáhána není, se nazývá neutrální osa.

Ohyb nosníku

Bernoulli-Navierova hypotéza

Grafické znázornění zachování rovinnosti průřezu po deformaci

V Bernoulli-Navierově hypotéze (dále jen BN) v teorii ohybu je základním předpokladem splnění rovinnosti průřezu. Jinými slovy musí platit, že průřez, který je rovinný a kolmý na střednici prutu před deformací musí být rovinný a kolmý na střednici i po deformaci. Tento předpoklad tedy zanedbává vznik smykové deformace.

Představme si, že máme nosník z homogenního isotropního materiálu, který je zatížen spojitým zatížením $q(x)$ . Pokud budeme předpokládat platnost BN hypotézy spolu s předpokladem malých deformací, potom lze podélnou deformaci tohoto prutu popsat diferenciální rovnicí, která nabývá tvaru

$u={\frac {dw}{dx}}z$ ,

kde ${\textstyle u}$ je deformace ve směru podélné osy prutu. Pokud se nacházíme v oblasti pružné deformace, potom musí platit tato geometrická rovnice

$\varepsilon _{x}={\frac {du}{dx}}={\frac {d^{2}w}{dx^{2}}}z$

a také samozřejmě fyzikální rovnice dávající do souvislosti poměrnou deformaci a napětí (nazývána též Hookův zákon). Tato rovnice je tvaru

$\sigma _{x}=E\varepsilon _{x}$

Po dosazení dostáváme

$\sigma _{x}=E{\frac {d^{2}w}{dx^{2}}}z$

V jednoduchých variantách ohybu se předpokládá, že deformace je způsobena právě ohybovým momentem (zanedbáme kroutící momenty a jiné silové i nesilové účinky), jehož působení po průřezu lze zapsat též diferenciální rovnicí. Tato rovnice vyjadřuje skutečnost, že moment je roven součinu všech normálových sil působících na průřezu a jejich vzdáleností od neutrální osy. Pokud ohyb probíhá v rovině ${\textstyle xz}$ , potom platí

$M_{y}=\int _{A}{\sigma _{x}zdA}$ ,

kde ${\textstyle A}$ je plocha průřezu kolmého na podélnou osu prutu. Nyní můžeme dvě výše uvedené rovnice dosadit do sebe a spolu s uvážením faktu, že moment setrvačnosti ${\textstyle I_{y}=\int _{A}{z^{2}}}$ , musí platit