Limita

Limita je matematická konstrukce vyjadřující, že se hodnoty zadané funkce nebo posloupnosti blíží libovolně blízko k nějakému bodu. Právě tento bod je pak označován jako limita. Tato skutečnost se u funkcí zapisuje $\lim _{x\rightarrow a}f(x)=A$ a u posloupností $\lim _{n\to \infty }a_{n}=A$ .

Dle toho, zda se uvažuje o funkci nebo o posloupnosti, hovoříme o limitě funkce nebo limitě posloupnosti. Pojem limity lze definovat na reálných číslech, obecnější definice má smysl na libovolném metrickém prostoru a ještě obecnější definice na libovolném topologickém prostoru. Tam, kde má smysl více definic, jsou tyto definice ekvivalentní (například reálná čísla jsou metrickým i topologickým prostorem).

Limita funkce

Číslo $A\in \mathbb {R}$ je limitou funkce $f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ v bodě $a\in \mathbb {R}$ , jestliže pro libovolné $\varepsilon >0$ existuje $\delta >0$ takové, že pro každé $x\in D_{f}$ takové, že $0<\left|x-a\right|<\delta$ ( $x$ leží v prstencovém okolí bodu $a$ ) platí $\left|f(x)-A\right|<\varepsilon$ .

Limita posloupnosti

Číslo $A\in \mathbb {R}$ je limitou posloupnosti $\{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ , jestliže pro libovolné $\varepsilon >0$ existuje $n_{0}\in \mathbb {N}$ takové, že pro každé $n\geq n_{0}$ platí $|a_{n}-A|<\varepsilon$ .

Limita v metrickém prostoru

Prvek $x$ metrického prostoru $X$ s metrikou $\rho$ je limitou posloupnosti jeho prvků $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ , právě když platí $\lim _{n\rightarrow \infty }\rho (x_{n},x)=0$ .

Limita v topologickém prostoru

Limita zobrazení $f:A\to B$ mezi topologickými prostory $A$ a $B$ je v bodě $a\in A$ definována jako $b\in B$ takové, že pro každé okolí $O(b)$ bodu $b$ existuje okolí $O(a)$ bodu $a$ takové, že $x\in O(a)$ implikuje $f(x)\in O(b)$ .

Dalším zobecněním limity posloupnosti, funkce i zobrazení jsou limity topologických sítí^[1]. Limita zobrazení nebo topologické sítě může být v obecném topologickém prostoru víceznačná. Platí však, že v Hausdorffově prostoru je tato limita jednoznačná, tj. každé zobrazení či topologická síť má nejvýše jednu limitu.

Nevlastní limita v nevlastním bodě

Pokud pro libovolné číslo $\varepsilon >0$ lze nalézt prvek posloupnosti, počínaje kterým jsou všechny hodnoty posloupnosti větší než $\varepsilon$ , říkáme, že posloupnost roste nade všechny meze neboli že má nevlastní limitu $+\infty$ . Obdobně se definuje nevlastní limita $-\infty$ .

Pokud pro libovolné číslo $\varepsilon >0$ lze nalézt okolí bodu $a$ , ve kterém má funkce hodnotu větší než $\varepsilon$ , říkáme, že v okolí bodu $a$ funkce roste nade všechny meze neboli že má nevlastní limitu $+\infty$ . Obdobně se definuje nevlastní limita $-\infty$ .

Limitou tedy může být nejen reálné číslo, ale i $+\infty$ nebo $-\infty$ (rozšířené reálné číslo).

Pokud se hodnoty limity neliší od čísla $A$ o více než libovolné číslo $\varepsilon >0$ , má funkce v nevlastním bodě $+\infty$ vlastní limitu $A$ . Pokud jsou hodnoty limity větší než libovolné číslo $\varepsilon >0$ , má funkce v nevlastním bodě $+\infty$ nevlastní limitu $+\infty$ . Obdobným způsobem lze definovat limitu v nevlastním bodě $-\infty$ .

V každém z nevlastních bodů $+\infty$ nebo $-\infty$ může mít funkce vlastní limitu, nevlastní limitu nebo limita nemusí existovat. Příkladem funkce, která nemá limitu v žádném z bodů $+\infty$ nebo $-\infty$ , je funkce sinus.

Příklady

Graf funkce $\scriptstyle f(x)={\frac {\sin(x)}{x}}$ . Je vidět, že tato funkce má limitu 1 v bodě nula.
Graf funkce $\scriptstyle f(x)={\frac {1}{x}}$ . Je vidět, že tato funkce nemá limitu v bodě nula a má vlastní limity 0 v $\scriptstyle \pm \infty$ .
Graf funkce $\scriptstyle f(x)={\frac {1}{x^{2}}}$ . Je vidět, že tato funkce má nevlastní limitu $\scriptstyle +\infty \,\!$ v bodě nula a má vlastní limity 0 v $\scriptstyle \pm \infty$ .

Funkce ${\sin x} \over x\,\!$ není v nule definovaná, ale má v ní limitu 1^{[pozn. 1]} (vlastní limita ve vlastním bodě) a v $+\infty \,\!$ má limitu 0 (vlastní limita v nevlastním bodě).
Funkce ${\sin {1 \over x}}\,\!$ ani ${\sin {1 \over x}} \over x\,\!$ v nule limitu nemají. Totéž platí i o funkcích ${1 \over x}\,\!$ či ${1 \over x^{3}}\,\!$ , ovšem ty mají alespoň jednostranné limity: jejich pravostranná limita je $+\infty \,\!$ a levostranná $-\infty \,\!$ .
Funkce ${1 \over x^{2}}\,\!$ a ${1 \over x^{4}}\,\!$ mají v nule limitu $+\infty \,\!$ (nevlastní limita ve vlastním bodě).
Funkce ${\sin x}\,\!$ má v nule limitu 0 a v $+\infty \,\!$ limitu nemá. Obě tato tvrzení platí i o funkci ${x\cdot \sin x}\,\!$ .
Funkce $e^{x}\,\!$ má v $-\infty \,\!$ limitu 0 (vlastní limita v nevlastním bodě) a v $+\infty \,\!$ limitu $+\infty \,\!$ .

Poznámky

↑ To lze intuitivně zdůvodnit tak, že funkce sin x má v okolí nuly „velmi podobný“ průběh, jako funkce f(x) = x; proto se jejich poměr blíží k jedné. (L'Hospitalovo pravidlo)

Reference

↑ Michael C. Gemignani, Elementary topology, Courier Dover Publications, 1990 (strana 122, def. 3)

Související články

Externí odkazy

Obrázky, zvuky či videa k tématu limita na Wikimedia Commons
Encyklopedické heslo Limita v Ottově slovníku naučném ve Wikizdrojích

[2] To lze intuitivně zdůvodnit tak, že funkce sin x má v okolí nuly „velmi podobný“ průběh, jako funkce f(x) = x; proto se jejich poměr blíží k jedné. (L'Hospitalovo pravidlo)

[1] Michael C. Gemignani, Elementary topology, Courier Dover Publications, 1990 (strana 122, def. 3)

[1]

[pozn. 1]