Limita funkce

Limita funkce je matematická konstrukce vyjadřující, že se hodnoty zadané funkce blíží libovolně blízko k nějakému bodu. Právě tento bod je pak označován jako limita. Tato skutečnost se zapisuje $\lim _{x\rightarrow a}f(x)=A$ .

Hlavní motivací pro používání limit je možnost „opravit“ chování funkce. Pokud nelze hodnotu funkce v určitém bodě spočítat (např. kvůli dělení nulou), ale v jeho okolí se chová „rozumně“, funkci můžeme opravit tak, že její funkční hodnotu v problematickém bodě nahradíme limitou. Zda se funkce v okolí určitého bodu chová rozumně, lze poznat podle toho, že limita existuje.

Limita funkce je základní pojem v matematické analýze, v diferenciálním a integrálním počtu. Například definice spojitosti funkce používají limitu: funkce je spojitá, pokud se její funkční hodnota v každém bodě rovná její limitě v tomto bodě.

Definice

Definice podle Cauchyho

Funkce f zobrazuje prstencové okolí bodu a do okolí bodu A.

Číslo $A\in \mathbb {R}$ je limitou funkce $f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ v bodě $a\in \mathbb {R}$ , jestliže k libovolnému $\varepsilon >0$ existuje takové $\delta >0$ , že pro všechna $x\in D_{f}$ taková, že $\left|x-a\right|<\delta$ ( $x$ leží v prstencovém okolí bodu $a$ ) platí $\left|f(x)-A\right|<\varepsilon$ .

Limitu má smysl zkoumat jen v definičním oboru funkce neobsahujícím bod $a$ , tj. libovolně blízko k bodu $a$ musí být funkce definována.

Definice podle Heineho

Číslo $A\in \mathbb {R}$ je limitou funkce $f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ v hromadném bodě $a$ definičním oboru funkce, jestliže pro každou posloupnost $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ , kde $x_{n}\in D(f)-\{a\}$ a $x_{n}\rightarrow a$ platí $f(x_{n})\rightarrow A$ .

Heineho a Cauchyova definice jsou ekvivalentní. Heineho se používá k výpočtu limit, Cauchyova častěji k důkazům.

Definice pomocí spojitosti

V definici spojitosti funkce obvykle figuruje limita. Přímým důsledkem takové definice je fakt, že v bodě, ve kterém je funkce spojitá, je limita rovna funkční hodnotě. Je však možné nadefinovat spojitost i nezávisle, například Cauchyho definice spojitosti. Potom je možné limitu zavést tak, že platí

\lim _{x\to a}f(x)=A

právě tehdy, když je funkce

g(x)

definovaná předpisem

g(x)={\begin{cases}A&x=a\\f(x)&{\text{jinak}}\end{cases}}

spojitá v bodě

a

. Tato definice nejlépe vystihuje hlavní motivaci pro pojem limita funkce (možnost „opravit“ chování funkce, viz úvod).

Limita zprava a zleva

Limity x → x₀⁺ ≠ x → x₀⁻. Proto limita pro x → x₀ neexistuje.

Funkce $f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ má v bodě $a$ jednostrannou limitu $A$ zleva resp. zprava, jestliže k libovolnému číslu $\varepsilon >0$ existuje číslo $\delta >0$ takové, že pro všechna $x\in D_{f}-\{a\}$ splňující podmínku $x\in (a-\delta ,a)$ resp. $x\in (a,a+\delta )$ , tj. pro všechna $x$ z levého resp. pravého okolí bodu $a$ , platí $|f(x)-A|<\varepsilon$ , tj.:

\lim _{x\to a-}f(x)=A\;

- limita zleva

\lim _{x\to a+}f(x)=A\;

- limita zprava

Funkce $f(x)$ má v bodě $a$ limitu právě tehdy, pokud má v tomto bodě současně limitu zleva i zprava a tyto limity se rovnají, např. funkce $f(x)={\frac {1}{x}}$ nemá v bodě nula limitu, ačkoliv má obě jednostranné limity:

\lim _{x\to 0-}{\frac {1}{x}}=-\infty

\lim _{x\to 0+}{\frac {1}{x}}=\infty

Limita funkce více proměnných

Funkce $n$ -proměnných $f:\mathbb {R^{n}} \rightarrow \mathbb {R}$ má v bodě $A=[a_{1},a_{2},...,a_{n}]$ limitu $B$ , jestliže k libovolnému číslu $\varepsilon >0$ existuje číslo $\delta >0$ takové, že pro všechny body $X=[x_{1},x_{2},...,x_{n}]$ z $\delta$ -okolí bodu $A$ s výjimkou samotného bodu $A$ platí $|f(X)-B|<\varepsilon$ . Takovou limitu značíme některým z následujících způsobů:

$\lim _{X\to A}f(X)=B$
$\lim _{[x_{1},x_{2},...,x_{n}]\to A}f(X)=B$
$\lim _{[x_{1},x_{2},...,x_{n}]\to [a_{1},a_{2},...,a_{n}]}f(X)=B$
$\lim _{\begin{matrix}x_{1}\to a_{1}\\x_{2}\to a_{2}\\\vdots \\x_{n}\to a_{n}\end{matrix}}f(X)=B$

U funkce $n$ -proměnných je možné provádět limitní přechod nejen vůči všem proměnným, ale také vzhledem k pouze několika proměnným, např. $\lim _{x_{1}\to a_{1}}f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=g(x_{2},x_{3},...,x_{n})$ , kde $g$ je funkcí $n-1$ proměnných.

Limita komplexní funkce

Komplexní funkce $f:\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C}$ definovaná v okolí bodu $z_{0}$ má v bodě $z_{0}$ limitu $A$ , jestliže k libovolnému $\varepsilon >0$ existuje $\delta$ -okolí bodu $z_{0}$ takové, že

|f(z)-A|<\varepsilon

.

Limitu v bodě $z_{0}$ zapisujeme:

\lim _{z\rightarrow z_{0}}f(z)=A

,

kde limita $A$ může být komplexním číslem.

Nevlastní limita v nevlastním bodě

Pro limitu funkce $f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ rozlišujeme: vlastní limita v vlastním bodě, nevlastní limita v vlastním bodě, vlastní limita v nevlastním bodě a nevlastní limita v nevlastním bodě:

Limitu funkce $\lim _{x\to a}f(x)=A\in \mathbb {R}$ nazýváme vlastní limitou funkce $f$ ve vlastním bodě $a\in \mathbb {R}$ .
Limitu funkce $\lim _{x\to a}f(x)=\pm \infty$ nazýváme nevlastní limitou funkce $f$ ve vlastním bodě $a\in \mathbb {R}$ .
Limitu funkce $\lim _{x\to \pm \infty }f(x)=A\in \mathbb {R}$ nazýváme vlastní limitou funkce $f$ v nevlastním bodě.
Limitu funkce $\lim _{x\to \pm \infty }f(x)=\pm \infty$ nazýváme nevlastní limitou funkce $f$ v nevlastním bodě.

Nevlastní limitu ve vlastním bodě lze definovat také zprava nebo zleva, bereme-li pouze pravé nebo levé okolí bodu $a$ .

Příklady

Příklad vlastní limity ve vlastním bodě:

\lim _{x\to 3}2x=6

Příklad nevlastní limity ve vlastním bodě:

\lim _{x\to 0}{\frac {1}{x^{2}}}=\infty

Příklad vlastní limity v nevlastním bodě:

\lim _{x\to -\infty }2^{x}=0

Příklad nevlastní limity v nevlastním bodě:

\lim _{x\to \infty }2^{x}=\infty

Vlastnosti

Mějme funkci $f$ , která má v bodě $a$ limitu $A$ a funkci $g$ , která má ve stejném bodě limitu $B$ , pak pro libovolné číslo $c$ platí následující vztahy:
- $\lim _{x\to a}cf(x)=cA$
- $\lim _{x\to a}[f(x)\pm g(x)]=A\pm B$
- $\lim _{x\to a}f(x)g(x)=AB$
- $\lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {A}{B}}$ , pokud $B\neq 0$

Mějme funkci $f$ , která má v bodě $a$ limitu $A$ , tedy $\lim _{x\to a}f(x)=A$ , a funkci $g$ , která má v bodě $A$ limitu $B$ , tedy $\lim _{y\to A}g(y)=B$ . Pokud existuje takové $\delta >0$ , že pro všechna $x$ splňující podmínku $0<|x-a|<\delta$ platí $f(x)\neq A$ , pak:

\lim _{x\to a}g(f(x))=B

Máme-li funkce $f$ a $g$ , pro něž v okolí bodu $a$ platí $f(x)\leq g(x)$ , pak v případě, že obě funkce mají v bodě $a$ limitu, bude platit:

\lim _{x\to a}f(x)\leq \lim _{x\to a}g(x)

Máme-li funkce $f,g,h$ , pro něž v okolí bodu $a$ platí $f(x)\leq h(x)\leq g(x)$ a existují-li limity $\lim _{x\to a}f(x)=A$ a $\lim _{x\to a}g(x)=A$ , pak existuje také limita: