Kvadratická forma

Kvadratická forma je kvadratická funkce na vektorovém prostoru, zúžení (restrikce) bilineární formy.

Kvadratické formy jsou důležitým matematickým pojmem, vyskytují se například v geometrii kvadrik nebo teorii čísel. Užívají se také ve fyzice a např. jako energie systému.

Definice

Nechť $\beta :Y\times Y\rightarrow T$ je bilineární forma na vektorovém prostoru $Y$ nad tělesem $T$ . Pak funkce

f(\mathbf {h} )=\beta ({\textbf {h}},{\textbf {h}})

se nazývá kvadratická forma na $Y$ .

Základní vlastnosti

Všechny kvadratické formy jsou homogenní funkce 2. řádu, tzn.

f(t{\textbf {h}})=t^{2}f({\textbf {h}})

pro všechna $t\in \mathbb {R}$ a ${\textbf {h}}\in Y$ .

Nejběžnější kvadratická forma na prostoru s reálným skalárním součinem je kvadrát normy

f({\textbf {h}})={\textbf {h}}\cdot {\textbf {h}}=h_{1}^{2}+h_{2}^{2}+...+h_{n}^{2}=||{\textbf {h}}||^{2}

Kvadratickou formu $f:\mathbb {R} ^{d}\rightarrow \mathbb {R}$ můžeme v souřadnicích rozepsat jako

f(\mathbf {h} )=\sum _{i,j=1}^{d}a_{ij}h_{i}h_{j},

kde $a_{ij}$ jsou prvky čtvercové symetrické matice řádu $d$ .

Druhy kvadratických forem

Kvadratická forma $f:Y\rightarrow \mathbb {R}$ na reálném vektorovém prostoru $Y$ se nazývá

pozitivně definitní, jestliže $\forall {\textbf {h}}\in Y,{\textbf {h}}\neq {\textbf {0}}$ platí $f({\textbf {h}})>0$
pozitivně semidefinitní, jestliže $\forall {\textbf {h}}\in Y$ platí $f({\textbf {h}})\geq 0$
negativně definitní, jestliže $\forall {\textbf {h}}\in Y,{\textbf {h}}\neq {\textbf {0}}$ platí $f({\textbf {h}})<0$
negativně semidefinitní, jestliže $\forall {\textbf {h}}\in Y$ platí $f({\textbf {h}})\leq 0$
indefinitní, jestliže $\exists \mathbf {h_{1}} ,\mathbf {h_{2}} \in Y$ taková, že $f(\mathbf {h_{1}} )>0$ a $f(\mathbf {h_{2}} )<0$ .

Literatura

HAMHALTER, Jan; TIŠER, Jaroslav. Diferenciální počet funkcí více proměnných. Praha: vydavatelství ČVUT, 1999. ISBN 80-01-01589-0. S. 139.
BICAN, Ladislav. Lineární algebra a geometrie. Praha: Academia, 2000. ISBN 80-200-0843-8. S. 197.
MOTL, Luboš; ZAHRADNÍK, Miloš. Pěstujeme lineární algebru. Praha: Karolinum, 2003. ISBN 80-246-0421-3. S. 337.

Související články

Externí odkazy

Obrázky, zvuky či videa k tématu kvadratická forma na Wikimedia Commons