Kosinus

Kosinus je goniometrická funkce.

Graf funkce kosinus

Pro označení této funkce se obvykle používá značka cos doplněná značkou nezávisle proměnné (zpravidla úhlu).

V pravoúhlém trojúhelníku bývá definována jako poměr přilehlé odvěsny a přepony. Definici lze konzistentně rozšířit jak na celá reálná čísla, tak i do oboru komplexních čísel.

Grafem kosinu v reálném oboru je kosinusoida (posunutá sinusoida).

Kosinus na jednotkové kružnici

Kosinus α na jednotkové kružnici

Kosinus se jednoduše definuje na jednotkové kružnici (kružnici se středem v počátku a s poloměrem 1): Je-li α úhel, který má počáteční rameno v kladné poloose x a je orientovaný od kladné poloosy x proti směru hodinových ručiček, je cos α roven x-ové souřadnici průsečíku této kružnice s koncovým ramenem úhlu α, jinak řečeno, rovná se (v absolutní hodnotě) délce úsečky z počátku k patě kolmice spuštěné z tohoto průsečíku na osu x. Délce této kolmice, přesněji (s ohledem na znaménko) y-ové souřadnici průsečíku jednotkové kružnice s koncovým ramenem úhlu α, je pak roven sin α.

Poloměr, kolmice a tato úsečka tvoří pravoúhlý trojúhelník, pro nějž platí Pythagorova věta, takže platí:

(sin α)² + (cos α)² = 1.

Na jednotkové kružnici je také vidět, že kosinus je v prvním a čtvrtém kvadrantu nezáporný (≥ 0), kdežto ve druhém a třetím nekladný (≤ 0). V prvním a druhém kvadrantu je klesající, ve třetím a čtvrtém rostoucí.

Orientovaný úhel lze rozšířit na všechna reálná čísla předpisem $\alpha +k\cdot 2\pi$ v úhlové míře resp. $\alpha +k\cdot 360^{\circ }$ v míře stupňové, kde $k$ je celé číslo. Kosinus lze tedy konzistentně definovat jako funkci na celé množině reálných čísel:

Kosinus v reálném oboru

Funkce $y=\cos x\,\!$ má následující vlastnosti (kde k je libovolné celé číslo):

• Definiční obor: $\mathbb {R}$ (reálná čísla)
• Obor hodnot: $\langle -1;1\rangle$
• Rostoucí: v každém intervalu $\left(\pi +2k\pi ,2\pi +2k\pi \right)$
• Klesající: v každém intervalu $\left(2k\pi ,\pi +2k\pi \right)$
• Maximum: +1 v bodech $2k\pi$
• Minimum: −1 v bodech $\pi +2k\pi$
• Derivace: $(\cos x)'=-\sin x\,\!$
• Integrál: $\int \cos x\,\mathrm {d} x=\sin x+c$
• Taylorův polynom: $\cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-x^{2})^{n}}{(2n)!}}$
• Inverzní funkce (na intervalu $\langle -1;1\rangle$ a oborem hodnot $\textstyle \left\langle 0,\pi \right\rangle$: Arkus kosinus (arccos)
• Kosinus dvojnásobného argumentu: $\cos(2x)=\cos ^{2}x-\sin ^{2}x$
• je:
  • sudá
  • omezená shora i zdola
  • periodická s periodou $2k\pi$

Kosinus v komplexním oboru

Funkce kosinus je v komplexních číslech definována součtem řady

$\cos z=1-{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{4}}{4!}}-{\frac {z^{6}}{6!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n}}{(2n)!}}$

která konverguje na celé komplexní rovině. Pro každá dvě komplexní čísla z₁,z₂ platí:

$\cos z={\frac {e^{iz}+e^{-iz}}{2}},$

$\cos \left(z_{1}+z_{2}\right)=\cos z_{1}\cos z_{2}-\sin z_{1}\sin z_{2},$

$\cos iz=\cosh z,\,$

Tyto vzorce plynou přímo z příslušných definičních mocninných řad daných funkcí. Kosinus je na celé komplexní rovině jednoznačná holomorfní funkce.

Související články

• Goniometrie
• Kosinová věta

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu kosinus na Wikimedia Commons
• Slovníkové heslo kosinus ve Wikislovníku

Portály: Matematika