Omezená funkce

Omezená funkce je pojem z oblasti matematické analýzy.

Příklady grafů omezených funkcí. Červená funkce je omezená pouze zdola, zelená pouze shora a modrá je omezená shora i zdola

Definice

Mějme funkci $f(x)$, jejíž definiční obor je $D(f)$, a nějakou množinu $A\subseteq D(f)$.

Existuje-li číslo $K$, takové, že pro všechna $x\in A$ platí $f(x)\leq K$, pak říkáme, že funkce $f$ je shora ohraničená (omezená) v $D$. Existuje-li supremum oboru hodnot funkce $f$, pak také existuje číslo $K$, a funkce je tedy shora omezená.

Existuje-li číslo $L$, takové, že pro všechna $x\in A$ platí $f(x)\geq L$, pak říkáme, že funkce $f$ je zdola ohraničená (omezená) v $D$. Existuje-li infimum oboru hodnot funkce $f$, pak také existuje číslo $L$, a funkce je tedy omezená zdola.

Existuje-li číslo $M$, takové, že pro všechna $x\in A$ platí $|f(x)|\leq M$, pak říkáme, že funkce $f$ je ohraničená (omezená) v $D$. Funkce omezená je tedy omezená shora i zdola, přičemž

$M=\max\{|K|,|L|\}$

Obor hodnot omezené funkce má konečné infimum i supremum.

Pokud funkce není omezená zdola ani shora, pak je neohraničená (neomezená).

Související články

• Absolutní hodnota
• Omezená množina