Rozdělení gama

Rozdělení gama je v teorii pravděpodobnosti a statistiky dvouparametrická rodina spojitých rozdělení pravděpodobnosti. Speciálními případy distribuce gama jsou exponenciální rozdělení, Erlangovo rozdělení a rozdělení chí-kvadrát. Běžně se používají tři různé parametrizace distribuce gama:

1. S parametrem tvaru k a parametrem měřítka θ.
2. S parametrem tvaru α = k a inverzním parametrem měřítka β = 1/θ.
3. S tvarovým parametrem k a střední hodnotou μ = kθ = α/β.

Grafy hustot gama rozdělení s různými charakteristikami.

Grafy distribučních funkcí rozdělení gama s různými charakteristikami.

V každé z těchto tří forem jsou oba parametry kladná reálná čísla.

Distribuci gama lze parametrizovat například pomocí tvarového parametru α = k a inverzního parametru škály β = 1 / θ. Mějme náhodnou proměnnou X, která má rozdělení gama s parametry α a β:

$X\sim \Gamma (\alpha ,\beta )\equiv \operatorname {Gama} (\alpha ,\beta )$.

Odpovídající funkce hustoty pravděpodobnosti v této parametrizaci je

${\begin{aligned}f(x;\alpha ,\beta )&={\frac {\beta ^{\alpha }x^{\alpha -1}e^{-\beta x}}{\Gamma (\alpha )}}\quad {\text{ pro }}x>0\quad \alpha ,\beta >0,\\[6pt]\end{aligned}}$

kde $\Gamma (\alpha )$ je funkce gama . Pro všechna kladná celá čísla $\Gamma (\alpha )=(\alpha -1)!$ .

Kumulativní distribuční funkce je regularizovaná funkce gama:

$F(x;\alpha ,\beta )=\int _{0}^{x}f(u;\alpha ,\beta )\,du={\frac {\gamma (\alpha ,\beta x)}{\Gamma (\alpha )}},$

kde $\gamma (\alpha ,\beta x)$ je nižší neúplná funkce gama.

Pokud α je kladné celé číslo (tj. distribuce je Erlangovo rozdělení), má tato distribuční funkce následující rozvoj do řady:

$F(x;\alpha ,\beta )=1-\sum _{i=0}^{\alpha -1}{\frac {(\beta x)^{i}}{i!}}e^{-\beta x}=e^{-\beta x}\sum _{i=\alpha }^{\infty }{\frac {(\beta x)^{i}}{i!}}.$

$f(x;k,\theta )={\frac {x^{k-1}e^{-{\frac {x}{\theta }}}}{\theta ^{k}\Gamma (k)}}\quad {\text{ pro }}x>0{\text{ a }}k,\theta >0.$

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Gamma distribution na anglické Wikipedii.

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu rozdělení gama na Wikimedia Commons

Autoritní data	GND: 4155928-9

Portály: Matematika