Diskuse s wikipedistou:Pavel Jelínek/Staveniště

Stejnoměrná spojitost

Funkce f z $\mathbb {R}$ do $\mathbb {R}$ se nazývá stejnoměrně spojitá, pokud pro každé kladné reální $\varepsilon$ a každé $x_{0}\in \mathbb {R}$ existuje kladné reálné delta $\delta$ takové, že $\delta$ -okolí $x$ je zobrazeno do $\varepsilon$ -okolí $f(x)$ , tj. pro každé $x\in R$ takové, že $d(x,x_{0})<\delta$ platí $d(f(x),f(x_{0})<\epsilon$ .

Symbol $d(x,y)=|x-y|$ označuje vzdálenost dvou bodů; díky tomu značení vynikne souvislost s metrickými prostory.

Funkce je tedy stejnoměrně spojitá, právě když

Je-li spojitá, neboli
A navíc pro každé $\varepsilon >0$ exituje n_0 nezávislé na $x$ , které poslouží pro každé $x$ .

Tento pojem lze zobecnit pro jakékoli metrické prostory a ještě dále pro uniformní prostory.

Příklady

Má-li na nějakém intervalu $I$ stejnoměrně spojitá funkce derivaci, je tato derivace na $I$ omezená. Proto následující funkce jsou spojité, ale ne stejnoměrně:

$x^{2}$ na celém $\mathbb {R}$ (ovšem na omezeném intervalu je stejnoměrně spojitá),
$1/x$ na intervalu $(0;1)$ ,
$sin{\frac {1}{x}}$ na $(0;1)$ ,
$x^{2}sin{\frac {1}{x^{3}}}$ na $\langle -1;1\rangle$ .

Vlastnosti

Každá stejnoměrně spojitá funkce je lipschitzovsky_spojitá, což znamená, že existuje kladná reálná konstanta $K$ taková, že v definici spojitosti či stejnoměrné spojitosti pro každé $\varepsilon$ lze použít $\delta =\varepsilon /K$ .

Například funkce $f(x)={\sqrt {x}}$ na intervalu $\langle 0;1\rangle$ není lipschitzovsky spojitá, ač je stejnoměrně spojitá: pro každé $\epsilon$ a pro každé $x$ poslouží např. $\delta =\epsilon ^{2}$ .

V metrických prostorech

Tuto stejnoměrnou spojitost lze zobecnit na funkce mezi libovolnými množinami $X,Y$ , na nichž je zaveden pojem vzdálenosti (tj. metriky) jejich prvků: $d_{x}(x_{1},x_{2})$ značí vzdálenost prvků $x_{1},x_{2}\in X$ , podobně $d_{y}$ prvků z $Y$ .

Pojmem „funkce“ se rozumí libovolné zobrazení z $X$ do $Y$ , tj. binární relace, která každému $x\in X$ přiřadí přesně jedno $y\in Y$ .

Formálněji řečeno:

Jsou-li $(X,d_{x})$ a $(Y,d_{y})$ metrické prostory a $f$ funkce z $X$ do $Y$ , pak se $f$ nazývá

Spojitá, pokud pro každé Nelze pochopit (neznámá funkce „\varepsion“): {\displaystyle \varepsion>0} existuje $\delta$ takové, že pro každé $x_{0}\in X$ se $\delta$ -okolí $x_{0}$ zobrazí do $\epsilon$ -okolí $f(x_{0})$ , tj. pro každé $x$ takové, že $d_{x}(x,x_{0})<\delta$ , platí Nelze pochopit (neznámá funkce „\varepsion“): {\displaystyle d_y(f(x), f(x_0) <\varepsion }
Stejnoměrně spojitá, pokud je spojitá a navíc toto $\delta$ závisí na $\epsilon$ , ale ne na $x_{0}$ , tj.....
Lipschitzovsky spojitá, pokud je stejnoměrně spojitá a navíc tato závislost $\delta$ na $\epsilon$ je lineární, tj.

V uniformních prostorech

// chatbote, napiš tuto sekci

--- Chatgpt navrhl toto:

Šablona:Matematika Stejnoměrná spojitost je pojem z matematiky, který zobecňuje koncept spojitosti funkcí mezi metrickými prostory. Na rozdíl od běžné spojitosti, která se zkoumá bodově, stejnoměrná spojitost popisuje chování funkce na celé definované množině.

Definice

Funkce $ f : (X, d_X) \to (Y, d_Y) $, kde $ (X, d_X) $ a $ (Y, d_Y) $ jsou metrické prostory, se nazývá stejnoměrně spojitá, pokud: \[ \forall \varepsilon > 0 \, \exists \delta > 0 : \forall x_1, x_2 \in X, \, d_X(x_1, x_2) < \delta \implies d_Y(f(x_1), f(x_2)) < \varepsilon. \] Tato definice zajišťuje, že pro každou hodnotu $ \varepsilon $ existuje univerzální hodnota $ \delta $, která funguje pro všechny body $ x_1 $ a $ x_2 $ v $ X $.

Příklady

Funkce $ f(x) = x^2 $ definovaná na uzavřeném intervalu $ [0,1] $ je stejnoměrně spojitá, protože růst funkce je omezený.
Funkce $ f(x) = x^2 $ na neomezeném intervalu $ (0, \infty) $ není stejnoměrně spojitá, protože pro velká $ x $ může být změna $ f(x) $ při malé změně $ x $ libovolně velká.
Funkce $ f(x) = \sin(x) $ je stejnoměrně spojitá na $ \mathbb{R} $, protože sinus má omezenou derivaci.

Souvislosti

Naopak spojitá funkce nemusí být stejnoměrně spojitá. Například $ f(x) = 1/x $ na $ (0, \infty) $ je spojitá, ale není stejnoměrně spojitá.

V případě kompaktních množin v metrických prostorech platí, že každá spojitá funkce je stejnoměrně spojitá (tzv. Heineho věta).

Rozšíření na metrické prostory

Stejnoměrná spojitost je definována nejen na reálných číslech, ale i na obecných metrických prostorech. Například funkce mezi dvěma množinami bodů v prostoru $ \mathbb{R}^n $ s eukleidovskou metrikou: \[ d(x, y) = \sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i - y_i)^2}, \] může být zkoumána na stejnoměrnou spojitost stejným způsobem jako v případě reálných funkcí.

Související pojmy

Lipschitzova spojitost: Každá Lipschitzovsky spojitá funkce je stejnoměrně spojitá, ale ne naopak.
Kompaktní množina: Spojitá funkce na kompaktní množině je vždy stejnoměrně spojitá.
Spojitost: Základní koncept, ze kterého stejnoměrná spojitost vychází.

Literatura

Rudin, Walter: Principles of Mathematical Analysis. McGraw-Hill, 1976.
Čech, Eduard: Základy matematiky. Academia, 1961.

Externí odkazy

Přidat téma