Difeomorfismus

Difeomorfizmus je v matematice zobrazení, které je spojitě diferencovatelné a existuje k němu inverzní zobrazení, které je také spojitě diferencovatelné. Pokud mezi množinami $A$ a $B$ existuje difeomorfizmus, říkáme, že množiny jsou difeomorfní. Definice se používá obvykle buď pro otevřené podmnožiny Eukleidova prostoru $\mathbb {R} ^{n}$, anebo pro hladké variety, kde je diferencovatelnost zobrazení také dobře definovaný pojem.

Formální definice

Pro variety M a N, je bijekce $f$ z M do N difeomorfizmus pokud jak

$f:M\to N$

tak i inverze

$f^{-1}:N\to M$

jsou diferencovatelné (pokud jsou tyto funkce dokonce r krát spojitě diferencovatelé, f se nazývá $C^{r}$-difeomorfmizmus).

Dvě variety M a N jsou difeomorfní, pokud existuje difeomorfizmus :$f:M\to N$.

Podobně funkce :$f:M\to N\,$ se nazývá lokální difeomorfizmus, pokud pro každý bod $x\in M$ existuje jeho okolí U takové, že $f(U)$ je otevřené v N a

$f|_{U}:U\to f(U)\,$

je difeomorfizmus.

Příklady

• Polární souřadnice $(r,\phi )$ v rovině můžeme chápat jako difeomorfizmus

$(0,\infty )\times (-\pi ,\pi )\to \mathbb {R} ^{2}\backslash \{(x,0);\,\,x\leq 0\},$

definován vzorcem

$(r,\phi )\mapsto (x,y)=(r\cos \phi ,r\sin \phi ).$

Toto zobrazení má v každém $(r,\phi )$ totální diferenciál, stejně jako inverzní zobrazení.

• Eukleidovská rovina je difeomorfní sféře bez jednoho bodu, příslušný difeomorfizmus je stereografická projekce.

Související články

• Homeomorfismus

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu difeomorfismus na Wikimedia Commons

Reference

Autoritní data	PSH: 7385