Bijekce

zobrazení (či funkce), které je zároveň prosté a na

Bijekce (bijektivní zobrazení, vzájemně jednoznačné zobrazení) je typ zobrazení, které je zároveň prosté i na. Bijekce je tedy zároveň injektivní zobrazení i surjektivní zobrazení. Bijektivní zobrazení přiřazuje každému prvku z cílové množiny právě jeden prvek z výchozí množiny.

Bijektivní zobrazení

Definice

editovat

Zobrazení   nazýváme bijektivní, pokud je každý prvek oboru hodnot mapován právě jedním prvkem definičního oboru:

 .

Příklady

editovat

Mějme zobrazení   definované takto:  . Toto zobrazení je bijektivní, jelikož pro každé reálné číslo   můžeme vyřešit rovnici   tak, že získáme právě jedno reálné číslo  .

Na druhé straně, zobrazení   definované jako   není bijektivní, a to ze dvou důvodů:

  •  , takže   není injektivní
  • neexistuje   tak, že  , takže   není surjektivní

Kterákoli z těchto skutečností je dostatečná k ukázání, že   není bijektivní.

Použití

editovat

Bijektivní zobrazení se užívá k porovnávání mohutností nekonečných množin, tj. existuje-li libovolná bijekce mezi dvěma množinami, říkáme, že mají stejnou mohutnost. Např. lze zkonstruovat bijekci mezi množinou přirozených čísel a množinou racionálních čísel, tj. uvedené množiny mají stejnou mohutnost, jsou spočetné. Naproti tomu mezi množinou racionálních čísel a reálných čísel žádnou bijekci zkonstruovat nelze, tj. uvedené množiny nemají stejnou mohutnost, množina reálných čísel je nespočetná.

Literatura

editovat
  • BARTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce. 4. vyd. Praha: Academia, 1994. 832 s. ISBN 80-200-1448-9. 

Související články

editovat

Externí odkazy

editovat