Asymptota

Asymptota (asymptotická přímka) určité křivky je taková přímka, jejíž vzdálenost od této křivky se limitně blíží k nule, když se jedna nebo obě souřadnice blíží nekonečnu. Asymptotický je vztah dvou veličin, které se k sobě limitně přibližují. Slovo je z řec. asymptótos, neshodný.

Definice

Mějme bod $T$ rovinné křivky a přímku $p$ . Označme vzdálenost bodu $T$ od přímky jako $\nu$ . Pokud alespoň jedna souřadnice bodu $T$ roste nade všechny meze a současně $\lim \nu =0$ , pak se přímka $p$ nazývá asymptotou.

Asymptota grafu funkce

Asymptotu grafu funkce rozlišujeme se směrnicí a bez směrnice.

Asymptota se směrnicí

Přímka $y=kx+q$ je asymptotou grafu funkce $y=f(x)$ se směrnicí právě tehdy, jestliže platí:

\lim \limits _{x\rightarrow \pm \infty }(f(x)-kx-q)=0

.

Je-li rovnice asymptoty $y=kx+q$ , potom platí:

k=\lim _{x\to \pm \infty }{\frac {f(x)}{x}}

q=\lim _{x\to \pm \infty }(f(x)-kx)

Asymptota bez směrnice

Je-li funkce $y=f(x)$ definovaná pro $x\neq a\in {\mathsf {R}}$ , potom graf funkce f má asymptotu bez směrnice právě tehdy, jestliže existuje alespoň jedna jednostranná nevlastní limita v bodě a. Rovnice takové asymptoty je potom

x=a\,

.

Asymptota kuželosečky

Asymptotou kuželosečky je mezní poloha tečny kuželosečky - přímka, která se ke kuželosečce neomezeně blíží, ale nemá s ní žádný společný (vlastní) bod.

V projektivní geometrii platí, že asymptota je tečna v nevlastním bodě